非线性振动系统方程解的若干物理解释

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　　非线性方程式的解与线性方程式的解在物理方面有本质的区别， 主要表现在以下几个方面：

　　1. 当恢复力为非线性时固有频率是振幅的函数

　　杜芬方程，即恢复力含有位移的三次方项的非线性方程，其固有频率的近似值为：

       对于分段线性的非线性系统，其固有频率为：

　　或

　　从上面两个式子可看出， 对于装有硬弹簧的硬式非线性振动系统，固有频ω随振幅A的增大而增加; 而对于装有软弹簧的软式非线性系统，固有频率随振幅A的增大而减小。图1表示固有频率与振幅的关系曲线。曲线1所示的是固有频率ω随振幅的增大而增加; 曲线2所示的是固有频率随振幅的增大而减小; 而直线3是线性振动系统的固有频率，它是一个常量， 不随振幅的变化而变化。

　　假如对某振动系统进行振幅逐渐减小的衰减试验，测出其振动位移与时间的关系曲线，若当振幅减小时，振动周期T随振幅的减小而减小，则为硬式非线性系统;若振动周期随振幅的减小而增大，则为软式非线性系统;若振动周期不随振幅大小而变化则为线性振动系统。如图2所示，左图为硬式非线性振动系统的试曲线，而右图为软式非线性的振动曲线。

　　2. 非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统

　　非线性振动系统的共振曲线，即振幅与频率关系曲线(幅频曲线)和相位与频率的关系曲线(相频曲线)和线性振动系统有本质的区别。图3中的a，b和c分别示出 在简谐干扰力作用下硬式和软式非线性系统的幅频曲线及相频曲线。

　　对于杜芬方程所示的非线性系统， 其一次近似解可由下式所示。

　　对于分段线性的非线性振动系统，其一次近似解可表示为：

　　如果阻力系数c很小，相位差角：

　　此时上式成为：

　　按照上式，可画出f(e/A)与e/A的关系曲线，当f(e/A)=0时，可求出上述代数方程的解。

　　由图3a看出，共振曲线的头部向右倾斜，此曲线为硬式非线性系统的共振曲线;图3b所示的共振曲线的头部向左倾斜，此曲线为软式非线性系统的共振曲线。

　　3. 强迫非线性振动系统的振动有滞后与跳跃现象

　　对于非线性系统， 如果我们使激振力幅保持不变，而缓慢地增加激振频率， 振动系统的振幅将沿着图4箭头所示的方向逐渐增大，当增加至最大值时，将会出现降幅跳跃，接着振幅将逐渐减小。

　　反之，逐渐减小振动频率，振幅将渐渐增大，增至某一点之后，又会出现增幅跳跃，此后，振幅将逐渐减小。

　　这种跳跃现象在线性振动系统中是不可能出现的。

　　由图4看出，返回过程的跳跃总是落后于前进过程的跳跃。这种现象，我们称它为滞后现象，这种滞后现象在线性振动系统中也是不会出现的。

　　4. 共振曲线有稳定与不稳定区段

　　在简谐干扰力作用下的非线性振动系统，共振曲线中有稳定区与不稳定区。共振曲线上的两次跳跃之间的线段是不稳定的，而其它部分的线段是稳定的。对于线性振动系统，当阻尼为正时，振动通常是稳定的。当阻尼为零时，仅在共振条件下振动是不稳定的。

　　5. 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应

　　在简谐激振力作用下的非线性系统，其强迫振动不一定是简谐振动，其响应的波形通常由各次谐波组成，这些波形除了与激振力频率相同的谐波外，还含有频率为激振频率Ω的几分之一，即频率Ω/n为的次谐波响应及频率为激振频率Ω的整数倍，即频率mΩ为的超谐波响应(n，m为正整数)。

　　次谐波振动和超谐波振动在性质上有两点不同，即
　　     超谐波响应在一般的非线性系统中或多或少是存在的，而次谐波响应则只在一定条件下才产生。
　　     当系统中存在阻尼时，阻尼只影响超谐波振动的振幅，但对于次谐波振动，只要阻尼大于某一定值，就会阻止次谐波振动的出现。

　　由于存在次谐波与超谐波振动，非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度。

　　当激振频率接近于系统固有频率的整数倍，例如等于固有频率的3倍时，该系统将出现振幅较大的而频率等于固有频率的次谐波共振;而当激振频率接近系统固有频率的几分之一，例如三分之一时，则该系统将出现振幅较大的其频率等于固有频率的超谐波共振。

　　6. 多个简谐激振力作用下的组合振动

　　作为例子，某系统作用有两个激振力为F1cosΩ1t和F2cosΩ2t，则该系统不仅会出现频率为Ω1，Ω2，2Ω1，2Ω2，3Ω1，3Ω2，···，而且会出现频率等于两个激振频率之和或之差的组合频率的振动，即

　　例如：|Ω1±Ω2|，|2Ω1±Ω2|，|Ω1±2Ω2|等。

　　在某些情况下，组合频率的振动较其它频率的振动要多得多，现在我们举例说明组合频率振动的产生过程。

　　假设某一非线性振动系统作用有两个频率的激振力，其运动微分方程式如下：

　　方程的一次近似解为：

　　代入以上方程：

　　我们可以利用以下三角函数表示上式的右边部分

　　将这些项代入前式，我们可以求出含有以下各种频率的振动响应， 除了Ω1和Ω2外，还有高次谐波3Ω1t和3Ω2，以及组合频率2Ω1+Ω2，2Ω2+Ω1，|2Ω1-Ω2|和||2Ω2-Ω1|。

　　下面举例说明，若

　　按照前面的公式，会出现以下各种频率的振动：
　　20，80，100，120，140，220，300，320，340和360 1/sec。

　　7. 非线性振动系统叠加原理是不适用的

　　在求解线性振动问题时，我们普遍采用叠加原理， 但对于非线性振动系统，不能应用叠加原理。如有以下线性方程：

　　可将上面的方程分解成以下两个方程：

　　原方程的解x(t)是由上面两个方程的解x1(t)和x2(t)叠加而成即：

　　对于线性微分方程式，以下的叠加是成立的。

　　如果方程不是线性的，而是非线性方程，由于高次项存在，因此叠加原理是不适用的，即出现了以下不等式

　　如果在非线性系统中应用叠加原理，所得结果就会和实际的结果出现较大的差异，而其结果往往是错误的。

　　8. 存在频率俘获现象

　　在线性振动系统中，如果同时存在频率为Ω和ω0两个简谐振动，则当这两个频率比较接近时，会产生拍振。两个频率相差越小，拍振周期越大。当两个频率相等时，拍振才消失，两个振动就合成为一个简谐振动。

　　在非线性振动系统中，则并不如此。例如，自激振动系统以频率ω0自振时，若受到频率为Ω的，且和ω0相接近的激振力的作用，则只出现一个频率的振动，即频率ω0和Ω进入同步，这一现象称为“频率俘获”。能产生频率俘获现象的频带，称为频率俘获区域。

　　在工程中已得到广泛应用的由两台感应电机分别驱动的激振器激励的自同步振动机，就是利用频率俘获原理而进行工作的。

　　图6示出Ω和|Ω-ω0|的关系。对于线性系统， 此二个参数之间的关系是：只当Ω=ω0时，|Ω-ω0|才等于零。对于非线性系统，例如对自激振动系统，当|Ω-ω0|小于某一定值时， 频率Ω和ω0将吻合而出现频率俘获现象。图中的Δω为频率俘获区。

　　在工程中， 频率俘获现象已得到广泛的应用， 由两台感应电动机分别驱动的并装于同一振动系统中的两个偏心转子激振器， 就是利用这一原理而进行工作的。目前在工业部门中应用的数以万计的自同步振动机基于这一原理。图7表示了双激振电机(转轴上带有偏心块的电动机，作激振器使用)驱动的振动机的示意图。试验曾指出， 当两台激振电动机单独运转时，其转数分别为962转/分和940转/分，而当同时运转时，其转数同为950转/分，这就是所谓的频率俘获。

　　9. 某些非线性振动系统会出现自激振动

　　在线性系统中自由振动总是衰减的，严格的周期运动只可能在周期干扰力的作用下产生的强迫振动。而在非线性振动系统中， 即使存在阻尼，也可能是周期运动。能量的损失可以由输入该系统的能量得到补偿，输入能量的时间和大小由振动系统本身进行调节，这就是自激振动。

　　10. 某些非性系统会产生混沌运动

　　混沌的发现是20世纪科学技术的伟大成就之一，继相对论和量子力学之后的又一重大发现。混沌学的出现是现代科学与技术，特别是计算机技术发展。非线性振动系统会出现混沌运动。混沌现象对于研究转子故障或利用混沌作为转子故障的一种诊断手段， 这是具有实际价值的。

　　来源：节选自《工程非线性振动》
　　作者：闻邦椿