基础知识浅析：功率谱和功率谱密度的区别

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　　谱让人联想到的Fourier变换， 是一个时间平均(time average)概念，对能量就是能量谱，对功率就是功率谱。

　　功率谱的概念是针对功率有限信号的，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。

　　有两点需要注意：
　　      · 功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数;而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。(随机的频域序列)
　　      ·功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛;而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。

　　频谱分析
　　对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。

　　功率谱密度
　　功率谱密度(PSD)，它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。

　　由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。维纳-辛钦定理(Wiener-Khinchin theorem)提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。

　　信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。

　　随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。

　　功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域。

　　通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于一条直线。

　　一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。

　　可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难：
　　1、用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度;
　　2、用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度;
　　3、用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。

　　三种定义方式对应于不同的用处：
　　      · 第一种方式前提是平稳随机过程不包含周期分量并且均值为零，这样才能保证相关函数在时差趋向于无穷时衰减，光靠相关函数解决不了许多问题，要求太严格了;
　　      · 第二种方式，虽然一个平稳随机过程在无限时间上不能进行傅立叶变换，但是对于有限区间，傅立叶变换总是存在的，可以先架构有限时间区间上的变换，在对时间区间取极限，这个定义方式就是当前快速傅立叶变换(FFT)估计谱密度的依据;
　　      · 第三种方式是根据维纳的广义谐和分析理论：Generalized harmonic analysis, Acta Math, 55(1930),117-258，利用傅立叶-斯蒂吉斯积分，对均方连续的零均值平稳随机过程进行重构，再依靠正交性来建立的。


　　来源：新浪剑桥石的博客

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功率谱和功率谱密度是一回事