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[其他相关] 直立行走的牛顿力学

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发表于 2017-11-13 11:31 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  人类跟猩猩的主要区别是能够直立行走,在漫长的进化过程中,人类用于步行的神经肌肉系统已经完善,那么走路的物理原理是什么呢?

  首先,走路需要摩擦力。这个大家都应该知道。从静止开始走动,动量变化,需要力。力从何来?摩擦力。什么摩擦?静摩擦。为什么是静摩擦,因为鞋子没有滑动。既然是静摩擦,那么地面对人没有做功,摩擦力并不造成机械能损耗。

  明白了走路时地面摩擦力是静摩擦的道理之后,我们考虑的问题是:静摩擦系数与人迈动的最大步伐是什么关系?

  为此,我们算出走路时脚受到的最大摩擦力,从这个计算我们应该发现这个最大摩擦力与跨的步伐大小有关系。这个其实也很好理解,试试就知道了。假如双脚并拢站着不动,也就是步伐为零,摩擦力也为零。假如你向前迈出一步,你会感到地面的力量在hold你; 但如果跨出步子加大到一定程度,你会发现有点hold不住了,鞋子开始打滑了——这就是静摩擦力不够了。如果你试图在光滑的冰面这样跨一大步出去,很可能会来一个前后劈叉。如果完全没有摩擦力,根本动不了,无法走路——也就是静摩擦系数为零,最大步长也为零。 这也可以从动量守恒看出,因为没有水平外力,物体质心水平位置不可能变化。

  直觉与对称性告诉我们,人双脚着地时静摩擦最大,如下图:
1.png
  左边的这只脚踩在地上,它受到地面的作用力是什么方向呢?肯定有一个向上的力,来支撑人的重量;另外一个是摩擦力。

        · 问题1:这是什么摩擦力?
        · 答:A受到的是静摩擦力---我们假定脚在地面没有打滑。

        · 问题2:方向朝哪边?
        · 答:A受到的摩擦力方向是向右。


  为什么?让我们看AB这条腿,以A为轴心,可以看出B点受到向下的力形成一个顺时针的力矩,AB本身的重量也形成一个顺时针的力矩,而要抵消这个力矩,B点关节必须给这条腿一个向左的水平力,而要抵消这个向左的力,A点必须有一个向右的摩擦力。你也可以以B为轴心看这个问题可能更清楚,A点受到地面向上的支撑力为人体重的一半,这个支撑力产生一个顺时针的力矩,要抵消这个力矩,A点必须有向右的摩擦力。

  如果没有摩擦力,这人如果想保持这个姿势,就会来一个劈叉。很痛苦的。怎么回事?如果静摩擦力不够,脚底就开始在地面滑动,而滑动起来,腿分得更开了,而躯干下压对AB造成的力矩越大,这个两腿分开的动作越加迅速。

  图中的人要向左行走,必须有足够的摩擦力推动右边那条腿由静止向左运动(通过脚跟抬起,使得右边的有效长度增大,静摩擦相应增大),实现与左边那条腿交叉,两脚也实现前后交换,如果静摩擦力不够,那么右边那只脚就会出现向后打滑,使两脚距离反而增大。不用计算也可以看出,脚步卖得越大,需要的摩擦力越大。换言之,摩擦力越小,能走的步子越小。假设上图中腿AB与垂直线的夹角为θ, 人体重为W,腿长为L,那么以B为转轴的力矩平衡方程为 (忽略腿重)
2.png
  静摩擦力最大值为1/2Wμ,其中μ为静摩擦系数。因此最大步伐为
3.png
  我们看到这个式子就知道得到了一个合理的结果,因为它通过了sanity check,也就是精神检查

        · 摩擦系数为0,步长为0:人由静止向前走动需要水平方向的作用力,因此没有摩擦力是无法行走的。这一点我们的公式通过了;


        · 摩擦系数再大,你的步长也不可能超过两倍腿长, 这一点我们的公式也通过了;


        · 没有腿(腿长为0)不能走路,这一点我们也通过了。

  上式可以改写成:
4.png
  我们称S为相对步长,也就是步伐与腿长的比。将这公式倒过来,将这公式倒过来, 我们得出:
5.png
  之所以做这个颠倒,是为了与实验结果比较。我们的理论图如下:
6.png
  物理这东西是实打实的 ,可以实验说明。在网上一搜,找到这篇题为“Step length and required friction in walking”(步行步长与摩擦)的2008年的论文(http://www.researchgate.net/publ ... 7d515a20a67c903.pdf )。这是美国与加拿大两所大学四名研究人员的实验结果,标题顾名思义,就是研究摩擦系数与步长的关系。他们得到的实验结果在论文中为图二,我拷贝于下
7.png
  实验跟理论吻合相当不错。因为仅仅用到初中物理,这个吻合度可以满足了。

  再看看步行时摩擦力的动态测量。下图显示的是一个步行周期内,地面对一只脚的作用力。虚线是地面摩擦力。 从这个图看出,双脚着地时摩擦力最大(为什么?)
8.png
9.png

  来源:岳东晓科学网博客
  作者:岳东晓博士

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