关于单摆运动纵横谈

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　　摆是能够产生摆动的一种机械装置，最简单的摆是单摆。一根不计质量的细杆或弦线(称作摆线)，其一端悬于固定点，另端固结一定质量的质点(称作摆锤)，就组成一个单摆(图1)。它受重力作用在某固定铅垂平面内摆动。稍复杂些的摆是复摆(图2)。它是在重力作用下能绕固定轴摆动的物体。

　　人们对摆的研究和应用由来已久，公元前四五世纪已有天平。据后来估计，它是每秒钟摆动一次的复摆。公元前6世纪，单摆曾被用作花瓶的饰物。公元前4世纪，亚历斯多芬在喜剧《蛙》中写道：“音乐应该用摆动衡量。”这是用单摆记时的最早记载。

　　公元前214年，摆被用作拾振放大器。敌人用铁器挖地道时的撞击能使一个悬挂的花瓶摆动。然而，比较系统的研究摆，却直至17世纪才由著名力学家伽利略、惠更斯和牛顿等相继完成。摆的研究同钟表计时器的发展有密切关系。

　　伽利略对单摆的研究

　　1581 年，17岁的医学院学生伽利略在教堂做弥撒时，看着被点蜡人弄动了的蜡架摆动越来越小，最后慢慢停下来。伽利略暗自问道，“每次摆动的时间是不是也越来越短呢?”当时尚无秒表，他用数自己脉搏的办法测量了每次摆动的时间。出乎他的意料，尽管每次摆动的摆幅越来越小，但每次摆动所用的时间却相同。这种摆动周期与摆动幅度无关的特性称作摆的等时性。

　　回家后，他又把石头系在绳子一端重复这个实验，得到了同样结果。他还发现，对于给定的绳长，不管他在实验中是用重石头还是用轻石头，摆动周期都相同。由于他正在学医，就为其发现找到一个实际用途，设计了一种脉搏仪，用标准长度的单摆测量患者的脉搏，这是他对医学的最后一次贡献。

　　研究单摆和其他机械装置完全改变了他的志趣，他变更了大学学习科目，开始研究数学和其他学科了。

　　1638 年伽利略在力学名著《两门新科学的对话》中深化了单摆的研究，对单摆等时性进行了理论分析。他认为摆锤偏离最低点后再无初速地回到该点的时间t等于摆锤从最高位置自由下落到最低点的时间(我们现在知道这个断言是不正确的)，也就是说，若摆线长为l，重力加速度为g，则据自由落体公式：

　　则有：

　　这样计算出来的单摆摆动周期。现在来看，尽管这个结果不正确(后面将导出正确公式)，但伽利略已得出了正确结果的类似形式。由此式可以说明单摆周期仅取决于摆长的正确结论。

　　在此前一年，梅森也已知周期与sqrt(l)成正比。伽利略还在同一著作中，以单摆为例证进行物理学探索(图3)。

　　他在A点悬挂一个单摆，从C点释放后，若不计空气阻力，它将运动到同一高度的D点。为了使这个实验说明的问题具有普遍性，他在E点或F点分别钉上钉子，摆锤在其阻挡下将运动到G点或另外一点(图3 中未示出)，从而说明上述结果在任意摆长下都适用。这样就把摆的运动提高到能量守恒的高度给予解释。

　　他又试图以一组单摆说明简单的频率比会构成悦耳的谐音。他用一组同轴单摆进行试验，并观察到当频率可简单通约时，摆系整体构成了悦目的图案，否则便是混乱的。此外伽利略也讨论了摆的受迫振动，指出用与单摆周期相同的时间间隔对其吹风，可以使本来静止的单摆做摆幅越来越大的摆动。

　　伽利略是力学史上继古希腊阿基米德后第二位全才性的大科学家，他对于力学的思想、理论、实验和应用发展都有极大贡献。如在单摆的研究中，伽利略引入了“力学模型”的思想。他所研究的摆的摆锤是只有质量而无大小的质点，此点系在无质量弦上且不受空气阻力作用，这显然是真实摆理想化的结果。

　　这种理想化的思想起源于古希腊，如几何学中的点、线、面、体都是相应实际对象在一定条件下的抽象化。而伽利略将模型化的思想和做法由数学引入到其他科学，进而使力学理论与实际应用相互促进形成循环放大的正反馈机制。这里，既指在日常生活中的实际应用，如脉搏仪，也指在其他学科中的应用，如能量守恒和谐音机制的探索。

　　伽利略赋予实验研究工作以重要作用，他主张基本原理必须来自经验与实验，知识来自观测。他在研究中常作“思想实验”，用想象实验说明问题的关键。当然，这也会导致错误的结论，如伽利略称他看到摆偏移铅垂线80°时仍有等时性，这是不正确的。他没有发现这一性质已被非线性效应破坏。

　　惠更斯对摆的研究

　　由于当时通用的机械钟不够准确，单摆以可能成为改进时间测量的基本装置而引起人们重视。1641年伽利略用单摆调整时钟，设计并制造了摆钟。1656年惠更斯利用摆的等时性制成摆式钟。惠更斯把摆锤的摆动视为圆周运动的一部分而给予细致的分析，并将其总结在1674 年出版的《摆动时钟》一书中。

　　惠更斯提出了计算单摆运动周期的正确公式，他用几何方法证明，摆的周期T与沿摆的竖直轴线(二倍摆长)自由下落所用时间t之比，等于圆周长同直径之比。即：

　　而：

　　故有：

　　基于该公式，他尝试用摆测量了重力加速度的值。

　　针对1646年梅森提出的不同形状物体摆动是否遵从同样法则的问题，惠更斯还提出了复摆运动的理论。笛卡尔发现了复摆的摆动中心，即若将物体质量集中于该点，复摆可简化为一单摆，其摆锤的质量即为物体质量，摆长为该点到悬挂点的距离。

　　而惠更斯引入了转动惯量的概念，从而给出了确定摆动中心的方法，即若复摆对质心C的转动惯量为Ic，质量为m，C到悬挂点O的距离OC为d，则摆动中心到悬挂点的距离(称作等效摆长)为L=d+Ic/md。惠更斯的方法可将形状复杂的摆等价为单摆。

　　惠更斯也是非线性振动研究的先驱者。他发现单摆只有在摆动幅度很小时才具有等时性，而摆动幅度较大时，单摆的摆动周期与运动幅度有关。然而这一现象的理论解释已超出当时的科学发展水平。现在已有多种方法可以求得振幅θ0。不大时单摆周期的近似值为：

　　惠更斯还发明了等时摆，其周期和摆幅无关(图4)，OA和OA'为旋轮线，摆线一旦偏离铅垂位置便贴向OA或OA'，使其有效长度(摆锤到摆线与OA或OA'两线切点的自由长度)减少。

　　惠更斯还发现另一类非线性振动现象，即将两个挂在墙上并略不同步的钟摆固定在同一薄木板上，经过一段时间后会变得同步，这类现象称作同步化或频率拖带。

　　摆的动力学

　　伽利略和惠更斯的工作使得人们对摆的运动学已有较充分的认识，并基本上确定了实验与理论相结合的研究方法。但当时因数学的准备不充分，致使摆的动力学，即摆的运动与受力之间关系，尚不清楚。直到自1687年牛顿的《自然哲学的数学原理》问世，才奠定了动力学发展的物理和数学基础，其中也专门论述了摆锤在真空和有阻力介质中的运动问题。

　　不计空气阻力的摆的受力特点是它在运动过程中始终受到沿圆弧轨道的切向力，其大小为：

　　式中α为摆线偏离铅垂位置的角度。当α很小时有：

　　即受力大小与角位移成正比，又因为该力永远指向摆的平衡位置，才使摆做所谓的简谐振动。简谐振动具有等时性，但当α不是很小时，即sinα≈α不再成立，相应的运动便不再具有等时性。

　　本文内容来源于上海大学乐乎博客：力学不倦，作者：陈立群教授。原文发表于发表于身边的力学(徐秉业主编, 北京大学出版社, 1997)