利用EXCEL“傅理叶分析”工具进行频谱分析

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　　EXCEL分析工具库中内置了分析工具“傅立叶分析”，其功能是进行离散型快速傅立叶变换(FFT)，也可进行傅立叶逆变换。

　　傅立叶变换是将时间序列数据转换为频率序列数据，以便了解序列的频率构成。

　　对于时间序列可展开为傅立叶级数：

　　式中：

　　N为观测值个数;k为周期分量个数;fj为频率(=j/N)，εt为误差项，是由于选取级数前k项所产生的。

　　时间域序列xk变换到频率域序列ωj的公式如下：

　　式中：N为序列数据项数，对第j个分量：aj为实部，bj为虚部，其模为：

　　辐角为：

　　我们所关心的是序列主要由哪些频率成份构成及其振幅。操作方法如下：

　　Step1：取得时间序列数据{xk}，要求项数N为2的整数次幂，即2、4、8、16、32…，项数最大限制为4096。N选择多大为好，要视频谱分析时要分析的项数。N个数据中，最多能分析N/2+1个频率构成。

　　Step2：时间序列{xk}各项减其平均数E(xk)得中心化时间序列;

　　Step3：利用“傅立叶分析”工具进行快速傅立叶变换，得ωj;

　　Step4：利用IMABS()函数求得复数的模。该序列第1项为0，去掉之，从第2项起共奇数项，中间项为常数项，两侧是完全对称的。绘制折线图观察之，通常只观察前半部分;

　　Step5：更改横坐标，观察频率分布。

　　需要指出的是：数据系列的周期性，是系统的特性，并不是由采样的时间间隔和样本量的多寡所决定。

　　应用举例
　　何先生，在自己所从事的工作中，以每分钟等间隔抽样200次，抽取了168383条记录，下图中只列出前几条：

　　图1 部分数据资料

　　以CH#1为例，从中按顺序选择样本量为128的样本，编制频谱分析图如下：

　　Step1：先按顺序截取128个样本单位的样本(必需是2的整数幂，本例为2⁷)(见图2)

　　图2 128个样本单位的傅立叶分析

　　Step2：在C1单元格输入“=AVERAGE(B2:B129)”求得平均数，在C3单元格输入公式，求得观测值与平均值之差，并向下复制到B3:B129。

　　Step3：工具|数据分析|傅立叶分析，设置对话框(如图3)，求得(如图2)中D列的傅立叶变换。

　　图3 傅立叶分析对话框设置

　　Step4：在E2单元格输入(如图2)所示函数，求得D2单元格复数的模，向下复制到B3:B129。将B2:B129制成折线图(如图4)。

　　图4 频率各构成成分的模

　　由图可见，图形是完成对称的，通常只看前面一半。需要指明的是该频谱图是由系统特性决定的，样本量不同，其频谱是类似的，只是图形密集程度不同和模的大小不同。模是由多个周期样本模的叠加的结果，样本量越大，模越大。但这一点并不影响分析的结果，我们只考虑频率强度从大到小的有限个频率，即考虑主要频率构成。

　　Step5：确定横轴分类标志：

　　将图形的横轴先进行编号，编号从0开始，本例选择128个样本单位，编号为0~127，然后再用编号值除以128，得到一个周期，周期的倒数即为频率。

　　按此方法制作了N=512、N=2048和N=4096的频谱图如下：

　　图5 N=128的频谱图

　　图6 N=512的频谱图

　　图7 N=2048的频谱图

　　图8 N=4096的频谱图

　　由图可见，样本量越多频率构成越丰富。但分析频谱时，都集中在峰值附近，不能反映面上的情况。由图可见，模较大的频率成分周期分布在0.13~0.26之间，也就是频率在4~8之间，我们选择N=256项进行分析完全够用。由于图形是对称的，只看前半部分，128项，分析占总数约10%的成份，即分析12个主要频率。

　　操作
　　(1) 按顺序选择256项数据，并求平均数，进行中心化平均，使均值为0;

　　(2) 利用“傅立叶分析”工具求得快速傅立叶变换;

　　(3) 选择一半的数据(从第2项到第129项)

　　    · 利用“=IMABS(D3)”求得复数的模。

　　    · 从第2项开始从1进行编号;以编号值除256得周期序列。


　　    · 将周期序列求倒数得频率。


　　    · 以频率为横坐标、模为纵坐标绘制频率分布图：

　　图9 选择256个样本数据，显示快速傅立叶变换的前半部分

　　(4) 利用“=IMREAL”函数提取实部，用“=IMAGINARY”函数提取虚部，形成序列值。

　　(5) 筛选主要成分。

　　在L列输入第k大的顺序号;

　　    · 在M列输入“=LARGE($E$3:$E$130,L2)”提取第k大傅立叶变换的模;


　　    · 在N列输入：“=MATCH(M2,$E$3:$E$130,0)”提取第k大的顺序号;


　　    · 在O列输入：“=INDEX(I$3:I$130,$N2)”提取第k大的实部;


　　    · 在P列输入：“=INDEX(J$3:J$130,$N2)”提取第k大的虚部;


　　    · 在Q列输入：“=INDEX($H$3:$H$130,N2)”提取第k大的频率。

　　图10 主要频率成分提取

　　于是得函数主要成分的傅立叶级数中的主成分：

　　本文来源于新浪博客：关文中工作室，作者：重庆三峡学院关文忠。