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[综合讨论] 负频率的内涵:一位网友对该问题的理解和解释

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发表于 2018-2-2 16:18 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  学信号与系统的时候,看到傅立叶变换,得到的频谱有负频率。负频率是什么呢?当时没有想通,频率怎么会有负的呢?看了一些参考书,都是说这不过是数学上的问题,没有什么实际物理意义的,但是不愿接受这个说法。

  时不时想想这个问题,终于清楚了。这几天研究m语言,不知为何突然又想起这个尘封已久问题,觉得应该把对于负频率的解释放在网上,利用Matlab画图进行解释,希望能对大家有所帮助。

  频率怎么会有负的?很奇怪吧,其实负频率是个很好理解的概念,为了说明这个问题,我描述一下负速度这个概念,我们知道在定义了正方向后,与正方向相反的方向运动的物体,就可以说是具有负速度,这是显而易见的。与速度类似的一个概念是角速度,如果我们把逆时针旋转定义为正的角速度,则顺时针旋转就具有负角速度,这也是显而易见的。在某种情况下,可以将角速度和角频率等同起来,也就是小欧米伽ω。

  傅立叶变换可视为将一个信号分解为无数个exp(jωt)分量的和,上文说了,对于正的角频率,可视为逆时针旋转,则负的角频率就是顺时针旋转。我们利用复平面和垂直于复平面的时间轴作为一个三维空间,则exp(jωt)在这个空间中呈现出螺旋线的形状,类似弹簧。

  对于正频率,即ω>0,俯视复平面时这根“弹簧”是逆时针的,对于负频率,即ω<0,这根“弹簧”是顺时针的。为了说明问题方便,我们这里以余弦函数为例,对于cos(ω0t)来说,其频谱的表达式是:π[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)],在正负ω0处有两个冲击,正ω0处的冲击对应的exp()分量为角频率是ω0(逆时针旋转),幅度为π/2π=0.5,初相为0,即与实轴的夹角为0;负ω0处的冲击对应的exp()分量是角频率为-ω0(即旋转速度为ω0,但方向是顺时针),幅度为π/2π=0.5,初相为0,即与实轴夹角为0。

  用Matlab绘制这两个分量,代码和图形如下,x轴对应信号的实轴,y轴对应信号的虚轴,z轴对应时间轴,输入余弦函数假设为ω0=2π,幅度范围是-1~+1:
1.png
  图形:
2.png
  左边是正频率对应的exp(jω0t)分量,可以看出是逆时针;右边是负频率对应的exp(-jω0t)分量,顺时针。让我们再看看这两根“弹簧”在由时间轴和实轴构成的平面上的投影:
3.png
  注意竖直的是时间轴,而水平的是信号实部的幅度,这两根旋转方向相反的“弹簧”在实轴和时间轴构成的平面上的投影具有相同的形状,就是cos函数的形状,只不过幅度只有原余弦信号的一半(在将两个分量合成之后,我们就会发现幅度=信号的幅度了)。

  再看看两根“弹簧”在由虚轴和时间轴构成的平面上的投影,注意竖直的是时间轴,水平的是信号虚部的幅度:
4.png
  两个投影之间差了一个负号。如果我们将这两根“弹簧合成”,由于它们在实轴上的一致,所以实部会增大一倍,它们在虚轴上的投影相差一个负号,所以会抵消为0,合成图如下:
5.png
  显然这个图形只在由实轴和时间轴构成的平面中具有幅度了,让我们看看实轴和时间轴构成的平面上信号的样子,注意竖直方向是时间轴,水平方向是信号实部的幅度:
6.png
  还原了我们的余弦信号。

  这下我们知道负频率是什么了吧,一般而言,进行变换的信号一般都是实信号,但是傅立叶变换试图用无数个exp(jωt)来合成,而exp(jωt)是复平面和时间轴构成的空间中的螺旋线,它有虚部。只有将某一频率的分量,分解为一正一负两个旋转方向相反的螺旋线,才能使分量的合成后保留实部,抵消虚部,还原原来的实信号,也就是说,如果没有负频率的分量,那么我们无法用exp(jωt)来合成一个实信号。

  为了充分地说明问题,下面再以sin函数为例重复上面的过程:

  sin(ω0t)的频谱是-jπδ(ω-ω0)+jπδ(ω+ω0),它有两个分量,一个对应频率为ω0,在t=0时刻其值为-j,也就是初相为-90度(与实轴夹角为负90度),幅度为π/2π=0.5;另一个对应频率为-ω0,在t=0时刻其值为j,即初相为90度(与实轴夹角为90度),幅度为0.5。

  下面是m代码(x轴对应信号的实轴,y轴对应信号的虚轴,z轴对应时间轴,输入正弦函数假设为ω0=2π,幅度范围是-1~+1):
7.png
  两个分量在由复平面和垂直于复平面的时间轴构成的空间中的图形,左边为正频率的,右边为负频率的:
8.png
  它们在由实轴和时间轴构成的平面中的投影(注意竖直的是时间轴,水平的是信号的实部):
9.png
       再看看它们在由虚轴和时间轴构成的平面中的投影(注意竖直的是时间轴,水平的是信号的虚部):
10.png
  两个分量合成后的空间形状:
11.png
  由时间轴和信号实轴构成的平面中的图形(竖直的为时间轴,水平的为实轴):
12.png
  最后说两句,在Matlab中,使用plot3函数可以很方便地绘制由参数方程确定的空间曲线的形状。


  本文来源于新浪考研数学笔记的博客,博主系武汉大学电子信息学院博士。

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