知其所以然：反应谱分析的实质和具体方法

weixin

　　做结构分析设计，反应谱分析是必不可少的一个项目。一般我们就是按照软件提示：添加反应谱函数，设置振型叠加方式(CQC或者SRSS)，设置加速度，然后就直接计算，查看结果。

　　可是，我们真正理解反应谱分析的实质么?究竟什么的反应谱分析?振型叠加究竟叠加了什么?CQC和SRSS两种方法区别在哪里?规范里面如何体现的?同样是地震分析，反应谱法和时程分析方法又存在什么区别呢?

　　1、反应谱分析的定义
　　反应谱分析是一个统计类型的分析方法，用于确定地震作用下结构可能的反映。(是不是感觉有些奇怪?跟统计有什么关系)

　　反应谱法的实质是把动力问题转换为等效的静力问题，而不是时程分析问题。由此引出几个概念：

　　地震反应谱 ，即给定的地震加速度作用期间，单质点体系弹性最大反应随质点自振周期变化的曲线。

　　标准反应谱 ，取同样场地条件下许多的加速度记录，并取阻尼比为0.05，得到相应阻尼比的加速度反应谱(请注意，这里阻尼已经成为反应谱本身所固有的一个特性了)，除以每一条加速度记录的加速度峰值，统计综合平均后形成。

　　抗震设计反应谱，将得到的标准反应谱乘以地震系数(7、8、9度烈度的峰值加速度和重力加速度的比值)。关于这个抗震设计反应谱的一些体会我将在以后的文章中指出。

　　说了半天，大家是不是还是不明白反应谱分析到底是算啥呢?请看下面的微分方程：

　　其中：K是刚度矩阵、u是节点位移、C是阻尼矩阵、M是质量矩阵，ug是地震地面位移。

　　其实反应谱分析就是求解这个微分方程，并寻求这些方程可能的最大相应。

　　2、反应谱分析的方法
　　反应谱分析是通过振型叠加法完成的(Wilson and Button，1982)，振型是通过模态分析获得的(这个会在后续文章中介绍)。Wilson教授推荐采用Ritz法得到的振型进行反应谱分析。

　　还记得上面说到的设计反应谱么?每一周期都对应着一个地震影响系数，通过模态分析可以获得结构的各种振动模态的周期，每一个周期就对应相应的地震影响系数，有了这个影响系数就可以求得该振型下的地震反应。

　　事实上，看了后续内容，你会发现反应谱分析实际上就是求解上述微分方程。

　　(1) 平动振型分解反应谱法
　　何为振型分解?通俗的说就是，将结构的每一个振型作为一个广义坐标，通过这些广义坐标的线性组合，来表达质量点的位移。也就是说，结构各质量点的坐标，可以由结构振型来表达。同样的道理，把惯性力(即上述方程中的左侧第三项)也按照振型广义坐标展开，带入上述方程，即可求解广义坐标，进而可以求解各个振型下结构各质点位移。通过位移即可把该阵型下动力问题等效成节点力，即静力问题!

　　在上述的求结果过程中，会产生一个重要的参数：振型参与系数。每个振型的振型参与系数的物理意义是：该振型产生的惯性力占单位惯性力的比例。(这里提一个问题，此处的振型参与系数和模态分析结果的振型参与系数相等么?物理意义相同么?)

　　很好!我们已经获得每一个振型下，结构对地震的反映等效为静力了，下面我们要通过一定的方法将不同振型下的结构反映进行组合，找出最不利的受力状态进行结构抗震设计。

　　组合方法1：SRSS法(完全平方根法)，即将各振型地震反应进行完全平方开方进行组合。为什么能这样组合?下面的原理想必大家都知道：如果对一个结构施加时变荷载，结构会发生震动，然而在激振作用下最容易被激发出来的振型就是结构的第一介振型，然后是第二阶等等。

　　结构的任意一种震动都可以认为是结构存在的基本振型的叠加组合(是否是线性的?还要请教各位)，如果认为结构的每一种振型都有一定的概率被激发，现在假设一个振型被激发这个事件都是相互独立的，则理论上我们能求得各种震动形式发生的几率。可是我们不关心到底会发生多少种震动形式，我们只需要一个包络的最大反应，用来进行结构设计。获得这种包络的方法就是上述的SRSS方法。(为什么这种组合可以包络?还要请教各位?)

　　公式见《抗规2010》5.2.2条，规范中特别强说明了，当周期比≤0.85时才可以使用该方法进行组合(也就是说周期比>0.85应采用CQC法)。这是问什么呢?当振型密集，相邻振型周期非常接近时，振型之间偶联非常明显，也就是说两个振型之间会想互相影响，那么SRSS方法存在的假设不成立，我们需要一种新的组合方式。

　　(2) 考虑振型偶联的平动振型分解反应谱法
　　组合方法2：CQC法(完全二次型组合法)，既考虑振型偶联系数的组合方法。其实就是把每种振型发生事件视为相关事件，而不是独立事件，这样每两个事件都会有一个相关系数(具体怎么算的应该在概率论教材中有介绍，我没有仔细研究)，这个相关系数体现在《抗规》5.2.3-5这个公式中的振型偶联系数。

　　5.2.3-5这个公式中还包含一个阻尼比，其实也很好理解，振型a想要发生，由于振型b跟他有关系，势必要阻止a发生而让自己(b)发生，也就产生了这样的振型阻尼。当然我这都是大白话，话糙理不糙就行。

　　当然关于CQC法的理解，我自认为跟规范上的说法有些出入，规范上说CQC法是考虑扭转的地震效应，但是根据我的理解，CQC法其实是考虑了振型的相互影响，扭转效应的产生是因为质心和刚心的不重合，好像与地震组合没有太大关系。因为公式中也没涉及到任何关于扭转的参数。

　　现在看看开头的那句话：反应谱分析是一个统计类型的分析方法，用于确定地震作用下结构可能的反映。反应谱分析不能给出结构在地震作用下何时出现极值，只能给出一个统计意义上的极值大小。

　　(3) 竖向地震的振型分解反应谱法
　　一般采用SRSS方法进行组合即可。对于竖向地震反应主要有三种方法：

　　1、 静力法(取重力代表值的某一个百分数)，这种办法缺点显而易见，太过于 ”拍脑门儿“了;

　　2、水平地震折减法(其实跟方法一没什么本质差别);

　　3、反应谱法。

　　反应谱法虽然准确切概念清晰，但是竖向地震的设计反应谱现行规范还没有给出，仅仅是按照水平地震反应谱就行折减(0.65)，这显然也是不尽如人意的。我想规范在竖向地震这个方面还有很多工作要做吧。

　　注：《抗规》中需要考虑竖向地震的情况：
　　  · 长悬臂结构;
　　  · 大跨度结构;
　　  · 高耸结构;
　　  · 以轴力为主的结构构件;
　　  · 砌体结构;
　　  · 突出的屋顶小构件(刚度突变处)。

　　(4) 其他组合方式
　　地震作用的组合还有其他方式，比如，ABS法，他认为全部阵型试件都是相关的，很保守;NCR法等等。

　　3、反应谱法的结果
　　分析了半天我们究竟想要得到什么结果?我们能得到什么结果?

　　首先，得到地震作用下结构的最大反应，包括内力，位移等等;其次，得到了模态阻尼和地面加速度;第三，振型偶联系数;第四，底部反力。需要说明的是，SAP中得到的模态阻尼包含了：分析工况中指定的阻尼值，阻尼单元的阻尼贡献以及材料属性中指定的复合阻尼三个部分组成。

　　总结：
　　1、反应谱分析实质上是变动力为静力
　　2、反应谱分析给出的统计意义上的结构地震 反应
　　3、反应谱分析的本质是求解动力微分方程，获得广义坐标。然后对结构反映，进行一定的组合。
　　4、反应谱分析基于结构振型求解(模态分析)，要想获得能够包络的地震反应，就需要足够多的振型(也就是说理论只有能够计算出结构全部的主振型才能求解全面的地震反应)。这一个要求是通过振型质量参与系数保证的。一般规定达到90%以上。

　　本文来源于网易“你别怕啊”的博客：就这样看着星空。