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[海洋船舶] 形状记忆合金常用的三种本构模型简介

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发表于 2018-2-23 09:20 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  目前形状记忆合金的本构模型分为唯象理论模型和细观力学模型。在智能结构的力学分析和工程应用中,采用最多的是Tanaka系列模型、LIANG和ROGERS模型和BRISON模型,它们都属于唯象理论模型,其本构关系均基于热力学、热动力学和相变动力学,下面分别介绍这三种本构模型。

  1、Tanaka模型
  Tanaka基于自由能驱动力概念提出了形状记忆合金一维本构模型。该模型考虑了材料的马氏体相变和逆相变,认为材料状态是内部参数,用马氏体百分数表示(马氏体体积与材料总体积的比值)。材料状态的一般表达式可写成
1.png
  Helmholtz自由能Γ=E-TS是状态变量E的函数。由热力学第一定律、第二定律可得
2.png
  从上式可得到形状记忆合金材料热力学本构关系的微分形式如下:
3.png
  式中:D为弹性模量;Θ为热弹性张量;Ω为相变张量。D、Θ、Ω通称为材料特性系数,可按下式计算:
4.png
  Tanaka认为对于马氏体相变和逆相变的过程中,马氏体含量ξ与温度T和外加应力σ的关系为指数形式,表示如下。

  奥氏体向马氏体转变,A→M:
5.png
  马氏体向奥氏体转变,M→A:
6.png
  式中:aM、bM、aA和bA分别是材料常数,用下式表示:
7.png
  Tanaka认为cAcM分别是奥氏体和马氏体转变时的应力与温度的等效转换系数。

  2、Liang and Rogers模型
  式(3)中的系数D、Θ、Ω由是式(4)知,是关于状态变量(ε,T,ξ)的函数。Liang和Rogers1990提出在小应变情况下变量D、Θ、Ω可当做常数处理,因此在Tanaka模型的基础上将式(3)积分后进一步得到了用全量形式表示的本构关系,其关系式如下:
8.png
  下标0表示初始状态。

  对于马氏体相变动力学模型,Liang和Rogers提出了用余弦形式表示。

  马氏体向奥氏体转变,M→A:
9.png
  奥氏体向马氏体转变,A→M:
10.png
  式中:
  aM、bM、aAbA分别是材料常数,用下式表示:
11.png
  Liang和Rogers提出
12.png
  α、β分别是如图1所示的相变直线的斜率。由热力学Clausius-Clapeyron方程知,在相变过程中应力与温度关系接近线性的(Liang,1900)。Goldstein用试验证实了这个结论。一般认为,相变温度MsAs与应力关系分别是线性的,而相变温度MfAf与应力变化要复杂得多。Liang和Rogers假设MfAf与盈利的关系曲线分别与温度Ms和As与应力关系曲线平行。

  在σ为常数时,由式(9)、式(10)得到的马氏体含量ξ与温度T的曲线关系如图2所示。
13.png
  图1 SMA 的温度、电阻和相变的关系图

  由图3知,形状记忆合金加热和冷却过程的结构内部的马氏体含量-温度关系是不同的,即加热和冷却循环有迟滞现象。
14.png
  图2 想变温度和应力的关系
15.png
  图3 σ=0时 ξ-T曲线

  式(9)和式(10)中余弦函数的变量取值限制在[0,π]区间,因此应力取值范围为如下。

  奥氏体向马氏体转变,A→M:
16.png
  马氏体向奥氏体转变,M→A:
17.png
  式(13)变为
18.png
  式(14)变为
19.png
  在Liang本构模型基础上,考虑SMA丝在某温度T(Ms≤T≤As恒定时发生加载和卸载的过程。其初始状态为
20.png
  在线弹性范围内式(8)变为
21.png
  因此线弹性极限应力、应变σlim、εlim可根据式(16)和式(8)得到
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23.png
  当作用应力超过σlim时,应力将诱发马氏体相变,式(8)成为
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  其初始状态为
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  当ξ=1时卸载,由式(20)得到回复应变极限εL:
26.png
  即
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  试验结果(Cross et al.,1970) 表明,相变过程中的最大可回复应变εL近乎是常数(8%)且SMA的杨氏模量D在相变过程中变化显著。杨氏模量D和马氏体含量ξ满足如下关系:
28.png
  式中:DADM分别为奥氏体态下的杨氏模量,DADM的比值通常为3或更大。

  因此,式(22)可化为
29.png

  3、Brinson模型
  式(9)、式(10)所描述的是线弹性行为,难以描述材料的非线性特性。于是Brinson提出了
30.png
  式中:ξs表示由于应力诱发的马氏体体积百分数;ξΓ表示由于温度引起的马氏体体积百分数则式(3)修正为:
31.png
  仍然假设D、Θ、Ω和Ωs是常数,上式变为
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  下标0表示初始状态值式中:ξs和ξΓ可按下述方法计算。

  (1)材料在外力作用下处于拉伸状态,内部晶格由奥氏体(A)向马氏体(M)转变的情况下:
33.png
  当 34.png
35.png
  其中,如果Mf<T<Ms,同时T<T0
36.png
  其余:
37.png
  (2)材料在外力处于回缩状态,内部晶格由马氏体(M)向奥氏体(A)转变的情况下:
  当 38.png
39.png
  式中aMaA的计算方法同Liang和Rogers本构模型,其它符号含义同前所述。

  本文内容摘录自姚熊亮撰写的《舰船结构振动冲击与噪声》一书。

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