信号时域参量指标的计算及其在工程中的应用

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　　信号的时域统计分析是指对信号的各种时域参数、指标的估计或计算。常用的时域参数和指标包括： 均值、均方值、均方根值、方差、标准差、概率密度函数、概率分布函数、联合概率密度函数等。

　　时域参量指标的计算


　　1. 均值
　　当观测时间T趋于无穷时，信号在观测时间T内取值的时间平均就是信号x(t)的均值。均值的定义为：

　　式中，T是信号的观测区间。实际中T不可能为无穷，算出的μx值必然包含统计误差，只能作为真值的一种估计。

　　2. 均方值和方差
　　当观测时间T趋于无穷时，信号在观测时间T内取值平方的时间平均值就是信号 x(t)的均方值，均方值的定义为：

　　如果仅对有限长的信号进行计算，则结果仅是对其均方值的估计。均方值的正平方根，为均方根值(或有效值) Xrms。

　　方差的定义为：

　　方差仅反映了信号x(t)中的动态部分。方差的正算术根σx称为标准差。若信号x(t)的均值为零，则均方值等于方差。若信号x(t)的均值不为零时，则有下式成立：

　　3. 概率密度函数
　　随机信号x(t)的取值落在区间内的概率可用下式表示：

　　式中，∆T为信号x(t)取值落在区间(x, x+∆x]内的总时间，T为总的观察时间。当∆x→0时，概率密度函数定义为：

　　4. 概率分布函数
　　随机信号x(t)的取值小于或等于某一定值δ的概率，称为信号的概率分布函数。常用Px()表示。概率分布函数的定义为：

　　5. 有量纲参数指标
　　有量纲参数指标包括方根幅值、平均幅值、均方幅值和峰值四种。若随机信号x(t)符合平稳、各态历经条件，且均值为零，概率密度函数为p(x)，则有量纲参数指标的定义如下：

　　其中，xr为方根幅值，

                               
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为平均幅值，xrms为均方幅值，xp为峰值，p(x)为概率密度函数，l为参数。另外，上述的有量纲参数指标也可在时域定义。当t∈(0,T) 时，方根幅值、平均幅值、均方幅值和峰值的定义为：

　　其中T为信号观测时间长度， max|x(t)为信号x(t)最大值的平均。

　　6. 无量纲参数指标
　　有量纲参数指标不但与机器的状态有关，且与机器的运动参数如转速、载荷等有关。而无量纲参数指标具有对信号幅值和频率变化均不敏感的特点。这就意味着理论上它们与机器的运动条件无关，只依赖于概率密率函数的形状。所以无量纲参数指标是一种较好的机器状态监测诊断参数。无量纲参数指标包括了波形指标、峰值指标、脉冲指标和裕度指标。无量纲参数指标的定义如下：

　　其中，p(x)为概率密度函数，l和m为参数。当l和m取不同值时，就得到如下指标：

　　(1) 波形指标：l=2，m=1时

　　(2) 峰值指标：l→∞，m=2时

　　(3) 脉冲指标：l→∞，m=1时

　　(4) 裕度指标：l→∞，m=1/2时

　　时域参量指标的应用

　　1. 利用概率密度函数和概率分布函数进行产品质量控制，研究材料的强度和控制设备的工作稳定性。
　　信号的概率密度函数，是随机信号处理中最基本又很重要的分析内容，在随机信号分析中得到广泛的应用。下图是某一随机信号的波形图。

　　根据上图所示的时间历程，分析出的各振幅的出现频次图。以随机信号的最大振幅(例如± 5V)作为横座标、以单位时间内振幅出现的次数作为纵座标，再除以振幅取值区间就得到近似的概率密度函数。

　　下图是相应的概率分布函数：

　　根据图 2、图3所示曲线的形状及不同振幅出现的概率，就能对信号所代表的物理过程进行适当的评价，并进行决策。

　　当图 1代表一批零件的加工尺寸，则根据图2、3可判断加工过程的质量高低，进而可评价或判断机床工具是否应该调整、操作工人的技术熟练程度等。

　　当图1代表某一设备在各种工作状况下所承受的负载变动，则根据图 2、图3就可评价设备的强度利用率(或强度储备)，或判定该设备在规定工作状况下的最合理的设计强度指标。

　　当图 1代表某控制设备工作状态参数相对于期望值变动的时间历程， 则根据图2、图 3就可确定该控制设备的工作稳定性程度等。如果工作状态参数的分布范围小，说明设备受到外界激励影响后，工作状态参数变化不大，也即设备的工作稳定性好。反之，设备的工作稳定性不好。

　　2. 利用振幅频次分布研究设备的随机疲劳和载荷谱
　　如果将信号中上升的峰值 A 称为振幅峰(参见图 4)，以振幅峰作为横坐标，以振幅峰在观测时间内出现的频次作为纵坐标，就得到振幅频次图5。振幅频次图给出了动态波形峰值出现的频次分布。对振幅频次图沿横坐标进行累计，就得到累计频次图(参见图6)。

　　3. 概率密度函数和参数指标在机器故障诊断中的应用

　　概率密度函数用于机器状态判断
　　概率密度函数可以直接用于机器状态的判断。图7与图8是车床变速箱的噪音概率密度函数。新旧两个变速箱的概率密度函数有着明显的差异。由于平均值没有携带机器状态的信息，在平稳随机过程中保持定值，为方起见，可取平均值为 0。因此，纵坐标位于 x = 0 处。随机噪声的概率密度曲线是高斯曲线，正弦信号的概率密度曲线是中凹的曲线。新的变速箱的噪声中主要是随机噪声，旧变速箱的噪声中就会出现不同频率的正弦波。因而，新变速箱噪声的概率密度曲线如图7所示，旧变速箱噪声的概率密度曲线如图8所示。

　　机器状态的时域参数指标判断方法
　　  · 参数指标诊断是使用较早，且比较有效的诊断方法。诊断参数指标一般应满足如下要求：
　　  · 易于测量和计算，所需计算机存储量小。
　　  · 能敏锐地反映和预报机器的早期故障。
　　  · 不受机器运行状态，如负载、转速等变化的影响。
　　  · 能够指示故障的存在，以便及时排查故障。

　　下面是一个用无量纲参数指标进行齿轮状态识别的例子。图9表示了28只汽车后桥齿轮在不同运行状态下，由振动加速度信号计算得到的无量纲参数指标。由于28只齿轮的运行状态不同，相对于不同运行状态下计算得到的无量纲指标也应该不同。如果针对某一无量纲指标计算得到的28个无量纲指标值的变化大，就说明该无量纲指标对不同运行状态的反映灵敏。

　　反之，则说明该无量纲指标不能区分运行状态。由图9可见，波形指标K的变化很小，没有足够的诊断能力;而峰值指标C和脉冲指标I可以作为齿轮运行状态的优良诊断指标。它们所提供的信息基本相同，曲线形状相似。但脉冲指标I比峰值指标C的变化要更明显一些。实际中，对于机器工作状况的识别，究竟应选择哪些参数指标，必须经过认真的分析和实验加以确定。

　　本文整理自泰斯特电子微信公众号(ID：testdianzi2014)。