非线性有限元及结构力学模拟中的三类非线性问题

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　　1. 线性分析
　　外加载荷与系统的响应之间为线性关系。例如线性弹簧，结构的柔度阵(将刚度阵集成并求逆)只需计算一次。通过将新的载荷向量乘以刚度阵的逆，可得到结构对其它载荷情况的线性响应。

　　此外，结构对各种载荷情况的响应，可以用常数放大和/或相互叠加，以确定它对一种全新载荷情况的响应，所提供的新载荷情况是前面各种载荷的叠加(或相乘)。这种载荷的叠加原理假定所有的载荷情况采用了相同的边界条件。

　　2. 非线性分析
　　非线性结构问题是指结构的刚度随其变形而改变。所有的物理结果均是非线性的。线性分析只是一种近似，它对设计来说通常已经足够了。但是，对于许多结构包括加工过程的模拟(诸如锻造或者冲压)、碰撞分析以及橡胶部件的分析(诸如轮胎或者发动机支座)，线性分析是不够的。一个简单例子就是具有非线性刚度响应的弹簧。

　　线性弹簧，刚度是常数

　　非线性弹簧，刚度不是常数

　　由于刚度依赖于位移，所以不能再用初始柔度乘以外加载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移。在非线性隐式分析中，结构的刚度阵在整个分析过程中必须进行许多次的生成和求逆，分析求解的成本比线性隐式分析昂贵得多。在显式分析中，非线性分析增加的成本是由于稳定时间增量减小而造成的。

　　非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数，因此不能通过叠加来获得不同载荷情况的解答。每种载荷情况都必须作为独立的分析进行定义和求解。

　　3. 非线性的来源
　　在结构的力学模拟中有三种：材料非线性、边界非线性(接触)、几何非线性。

　　(1) 材料非线性
　　大多数金属在低应变值时都具有良好的线性应力/应变关系;但是在高应变时材料发生屈服，此时材料的响应成为了非线性和不可恢复的。橡胶材料等也是一种非线性、可恢复(弹性)响应的材料。

　　材料的非线性也可能与应变以外的其它因素有关。应变率相关材料数据和材料失效都是材料非线性的形式。材料性质也可以是温度和其它预先定义的场变量的函数。

　　(2) 边界非线性
　　如果边界条件在分析过程中发生变化，就会产生边界非线性问题。悬臂梁随着施加的载荷产生挠曲。

　　梁端点在接触到障碍物以前，其竖向挠度与载荷成线性关系(如果挠度是小量)。当碰到障碍物时梁端点的边界条件发生了突然的变化，阻止了任何进一步的竖向挠度，因此梁的响应将不再是线性的。边界非线性是极度的不连续;当在模拟中发生接触时，结构中的响应在瞬时会发生很大的变化。

　　另一个边界非线性的例子是将板材材料冲压入模具的过程。在与模具接触前，板材在压力下比较容易发生伸展变形。在与模具接触后，由于边界条件的改变，必须增加压力才能使板材继续成型。

　　(3) 几何非线性
　　几何非线性发生在位移大小影响到结构响应的情况。由于：大挠度或大转动;突然翻转(Snap through);初应力或载荷刚性化。

　　如果端部的挠度较小，可以认为是近似的线性分析。然而，如果端部的挠度较大，结构的形状乃至其刚度都会发生改变。另外，如果载荷不能保持与梁轴垂直，载荷对结构的作用也将发生明显的改变。当悬臂梁挠曲时，载荷的作用可以分解为一个垂直于梁的分量和一个沿梁长度方向的分量。这两种效应都会对悬臂梁的非线性响应产生贡献(即，随着梁承受载荷的增加，梁的刚度发生变化)。

　　不难理解大挠度和大转动对结构承载的方式会产生显著的影响。然而，并不一定位移相对于结构尺寸很大时，几何非线性才显得重要。考虑一块很大的具有小曲率的板在所受压力下的“突然翻转”。

　　板的刚度在变形时会产生剧烈的变化。当板突然翻转时，刚度变负;尽管位移量值相对于板的尺寸很小，但是有明显的几何非线性，必须在模拟中加以考虑。

　　4. 非线性分析步骤
　　    · 建立模型
　　    · 基本方程的公式
　　    · 离散方程
　　    · 求解方法
　　    · 表述结果

　　5. 非线性有限元基本解决方案
　　    · 材料非线性-Newton-Raphson迭代(隐式)，中心差分，R-K(显式)
　　    · 边界非线性-接触(约束，连接，摩擦，滑移)Lagrange乘子，罚函数
　　    · 几何非线性-考虑Jaumann率的大变形算法，弧长法(Riks)

　　6. 非线性分析包含的重要主题
　　    · 选择近似的方法(如Newton-Raphson)
　　    · 选择合适的网格描述，动力学和运动学的描述
　　    · 检验结果和求解过程的稳定性(物理和数值)
　　    · 认识模型的平滑响应和隐含的求解质量和困难
　　    · 判断假设的作用和误差的来源

　　7. 非线性有限元分析关联的三个领域
　　    · 线性有限元方法，结构分析矩阵方法的扩展;
　　    · 非线性连续介质力学;
　　    · 数学，包括数值分析、线性代数和泛函。

　　本文内容参考百度文库PPT讲义《非线性专题-本构模型》整理而成。讲义由qiannianyiri提供，原作者不详。