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[其他相关] 浅谈有限元计算中的边界条件:什么是边界条件

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发表于 2018-3-9 16:06 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  对有限元计算,无论是ansys、abaqus、msc还是comsol等,归结为一句话就是解微分方程。而解方程要有定解,就一定要引入条件,这些附加条件称为定解条件。定解条件的形式很多,只讨论最常见的两种——初始条件和边界条件。

  在说边界条件之前,先谈谈初值问题和边值问题。

  初值和边值问题:
  对一般的微分方程,求其定解,必须引入条件,这个条件大概分两类---初始条件和边界条件,如果方程要求未知量y(x)及其导数y′(x)在自变量的同一点x=x0取给定的值,即y(x0)=y0y′(x0)=y0,则这种条件就称为初始条件,由方程和初始条件构成的问题就称为初值问题;

  而在许多实际问题中,往往要求微分方程的解在在某个给定的区间a≤x≤b的端点满足一定的条件,如y(a)=A,y(b)=B,则给出的在端点(边界点)的值的条件,称为边界条件,微分方程和边界条件构成数学模型就称为边值问题。

  三类边界条件:
  边值问题中的边界条件的形式多种多样,在端点处大体上可以写成这样的形式,Ay+By'=C,若B=0,A≠0,则称为第一类边界条件或狄里克莱(Dirichlet)条件;B≠0,A=0,称为第二类边界条件或诺依曼(Neumann)条件;A≠0,B≠0则称为第三类边界条件或洛平(Robin)条件。

  总体来说:
  第一类边界条件:给出未知函数在边界上的数值;
  第二类边界条件:给出未知函数在边界外法线的方向导数;
  第三类边界条件:给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。

  对应于comsol,只有两种边界条件:
  Dirichlet boundary(第一类边界条件)—在端点,待求变量的值被指定。
  Neumann boundary(第二类边界条件)—待求变量边界外法线的方向导数被指定。

  再补充点初始条件:
  初始条件,是指过程发生的初始状态,也就是未知函数及其对时间的各阶偏导数在初始时刻t=0的值.在有限元中,好多初始条件要预先给定的。不同的场方程对应不同的初始条件。

  总之,为了确定泛定方程的解,就必须提供足够的初始条件和边界条件!

  本文来源于新浪厚积薄发的博客(2009年)

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