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[其他] 提纯算法:COINV模态参数识别新算法

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发表于 2018-3-13 10:14 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  摘要:
  本文提出的提纯算法,将传统的密集模态解耦转化到了简单的频响函数提纯,参数识别过程也不需要稳定图,计算速度有极大的提高。提纯算法是目前所有模态识别算法中,唯一对密集模态参数识别能达到实时级的算法。MIMO试验只要参考点数量合适,即使能量占比很小的模态,通过提纯算法也可得到非常协调的模态振型,精确的模态频率和阻尼。提纯算法尤其适用于耦合严重的超大阻尼模态试验,提纯后的FRF已完成了模态解耦,能直观显示模态的频率和阻尼。

  一、简介
  飞机地面振动试验 (GVT) 之一为纯模态试验[1] 。在试验过程中,若干个激振器固定在某阶模态的频率同时激励。 通过调节每个激振器的大小和方向,可激励出纯模态,直接得到模态振型。这套机理可借鉴到试验模态分析 (EMA) 和运行状态模态分析 (OMA) 的参数识别,对具有共同分母的频响函数FRF或半谱HSP进行提纯[2~4],得到参数识别的提纯算法。

  对单输入多输出SIMO或多输入单输出MISO模态试验,FRF函数矩阵的一行或一列已知,这些FRF具有相同的分母,决定了模态的频率和阻尼。FRF由多阶模态叠加而成。只要为每个FRF找到合适的权系数,计权相加后可得到只含一阶模态的新FRF,此即所谓的提纯过程。由此再识别得到模态的频率和阻尼。改变权系数,可得到其它阶的模态频率和阻尼。

  对于多输入多输出MIMO模态试验,多行或多列FRF已知,把一行或一列FRF看成一组,为每组FRF找到一个合适的权系数,同测点不同组频响函数计权相加后可得到一组只含一阶模态的FRF,此即所谓的MIMO提纯过程。由这组提纯后的FRF,再识别得到模态的频率,阻尼和振型。改变权系数,可得到其它阶的提纯FRF,识别模态频率,阻尼和振型。

  对于EMA的MIMO试验,通过多变量指示函数 (MvMIF)[5,6],可计算得到权系数,进行提纯。当MvMIF的数值小于0.1,可通过FRF虚部直接得到模态振型。

  对于EMA和OMA的MIMO试验,通过复模态指示函数 (CMIF)[2,3],可计算得到权系数,进行提纯。

  当模态密集时,需要适当增加MIMO试验的参考点数目。

  二、理论推导
  1、SIMO或MISO EMA模态试验
  对于SIMO或MISO的EMA试验,FRF的一行或一列已知。

  激励点和响应点之间的FRF可写成:
1.png
  其中,i 为激励点,j 为响应点,r 为模态阶数,n 为频率分析区间内总的模态阶数,mr 为广义模态质量。

  上式常写成
2.png
  此处*为复共扼, Ar 为复留数,且
3.png
  当Ar 为纯虚数,Ar 的实部为0,Ar*=-Ar 。由激励点和响应点之间的FRF公式
4.png
  ΨirΨjr 为实数。此处开始,本小节模态振型假定为实数。

  假定采用质量归一提取振型,激励点和响应点之间的FRF公式可重写为:
5.png
  所有FRF有共同的分母。在对某阶模态进行参数识别时,需要考虑其它阶模态的影响。

  假定选中m个FRF通过权系数进行叠加,满足m≥n,合成得到新的FRF:
6.png
  即:
7.png
  假定采用质量归一提取振型,激励点和响应点之间的FRF公式可重写为:
8.png
  此处r 是模态阶数,r≠k。只在一阶模态r=k, 9.png 为非零。归一化处理,令
10.png
  这样,由式
11.png
  可得到只含一阶模态的频响函数。不用考虑其它阶模态的影响,通过新的FRF可识别得到精确的模态频率和阻尼。

  当所有模态的频率和阻尼已知后,由原始的FRF可逐点提取模态振型。

  为了得到只含单阶模态的FRF,需要先计算得到实系数αj (j=1,2,…m)。

  单阶模态加速度或位移的频响函数如图1所示:
12.png
  图1 单自由度FRF实部和虚部

  本小节此后的频响函数类型都看作加速度或位移。对于速度类型的频响函数,实部和虚部需要交换。对于OMA的半谱,可看成速度类型。

  在图1中,以模态频率为中心,选择一个频率区间。在此频率区间外,虚部和实部之比的绝对值为:
13.png
  确保μ<0.01,频率范围是
14.png
    ·ξr<0.005,外部频率区间为ω<0.62ωrω>1.62ωr


    · ξr<0.001,外部频率区间为ω<0.90ωrω>1.11ωr


  在所有FRF中,选m个虚部绝对值较大的FRF或全体FRF。

  假设在频率区间为FRF谱线条数为N,因此求实系数αk的方程为
15.png
  简写为
16.png
  在上式中,T表示转置矩阵。HI为FRF虚部。元素HIij,当i 不为0,为频率区间外的谱线序号;i=0表示为频率区间内谱峰的位置,允许有小的误差,不会对识别参数的精度造成影响。j为FRF的点号。实系数αk的方程中,右边矩阵的第一个元素为1,也可假设成其它的常数。

  从上式得到最小二乘解为
17.png
  即
18.png
  对于SIMO或MISO试验,以上算法的明显缺点是不适合密集模态或大阻尼模态。

  如两个靠近的模态频率位置大于2条谱线,即频率差大于2Δf,此处 Δf=SF/N,SF为采样频率,N为进行FRF分析的FFT点数。这两阶的模态参数可识别出来。

  注意到图1,模态频率位置处频响函数的实部为0,因此在实系数αk的方程中增加一行,新的方程为
19.png
  两阶位置靠近的模态可以分开。新增的一行是HR,FRF实部,位于FRF主峰值的位置,和第一行元素所在位置相同。

  对于包含只含一阶模态的FRF,
20.png
  在由式
21.png
  决定的频率区间内,需要识别三个参数ωrξrΦr。方程为
22.png
  此处HRk为H的实部,HIk为H的虚部,k为谱线序号,ωk为第k 条谱线的ω,N为频率区间内谱线总数。

  简化成
23.png
  方程的最小二程解为
24.png
  此处X=[X1  X2  X3]T,因此
25.png
  得到了模态频率,阻尼和参考点的振型。根据这些识别出的参数,可得到合成的理论FRF。合成的理论FRF和合成的纯FRF的吻合程度,反映了识别出的模态参数的精度。当吻合程度不好时,其可能的原因有:在选定的频带区间,模态不够纯,即相邻模态的影响没有完全消除;或模态阻尼很大而选定的频率区间宽度不够。

  2、SIMO或 MISO OMA模态试验
26.png
  上式中,矢量αm×1为复数,上式改写为
27.png

  3、MIMO试验通过MvMIF计算
  对MIMO试验,多变量指示函数MvMIF可直接用来计算系数,从而构造出一组纯FRF。

  已知的FRF矩阵为Hq×p,q为总的响应点,p为激励点个数。

  实系数可看成激励力矢量Fp×1,‖F‖=1,一组新的FRF为 (HF)q×1。因此,问题和飞机GVT纯模态试验相同,可定义为寻找激励力矢量,使得
   28.png
       在每条谱线上,定义矩阵
29.png
  从式
30.png
  得到
31.png
  因此
32.png
  在每条谱线,对下面的实对称矩阵进行奇异值分解
33.png
  此处S为从大到小排列的实对角阵,U为归一化的实矩阵,有UUT=I。I 为单位阵。

  多变量指示函数MvMIF曲线可以画出,如图2所示。
34.png
  图2 MvMIF曲线

  有p个激励点,就有p条MvMIF曲线,每条曲线由对角阵S相同序号的元素构成。

  由MvMIF曲线的最小值点,可找到模态的位置。实系数为对应此最小奇异值的矩阵U的相应的一列。

  当系数知道后,可得到一组提纯后的新频响函数FRF(HF)q×1 。当MvMIF的值小于0.1,模态振型可通过相应谱线位置FRF的虚部直接得到。

  MvMIF最小值依赖于激励的位置和数量,当有4阶模态密集相邻时,至少需要3个激励点。只要激励点数量足够,而且位置分布适当,即使重根也能轻易解耦。

  当一组提纯后的FRF得到后,下式
35.png
  可扩展为
36.png
  此处在元素iHRiHI中,i 表示一组FRF中的第i 个FRF,一组共有q个。

  直接求解上式很费时,从上式可得到等式
37.png
  可先求出模态频率和阻尼。

  然后,由在每条谱线对实对称矩阵进行奇异值分解方程,求出模态振型
38.png
  对于质量归一,存在等式
39.png
  此处Ψv可看成单输入多输出SIMO系统的虚拟激励点,满足
40.png
  Ψ1,Ψ2,…,Ψp 为激励点对应的振型。

  由式
41.png
  推导出
42.png
  由上式,可计算得到Ψv。第r 阶模态的实际振型为
43.png

  4、MIMO试验通过CMIF计算
对于OMA试验以及FRF相干较差的EMA试验,MvMIF曲线无法清楚指定模态所在的位置,而复模态指示函数CMIF却可以。对某一频率处的FRF矩阵进行Hq×p进行复奇异值分解
44.png
  此处Σ为正的实对角阵,元素按从大到小的顺序排列。U为复矩阵, UUH=Iq×q,I 为单位阵。V为复矩阵,VVH=Ip×p, I 为单位阵。

  各组的加权系数由下面复数方程得到
45.png
  写成实数的方式为
46.png
  将不同频率处Σ相同秩的元素连成曲线,得到了复模态指示函数,如图3所示。在曲线的最大值点,对应一阶模态。绝大部分模态在第一条曲线上,U 矩阵和V 矩阵的第一列和第一条曲线对应。U 矩阵的一列和模态振型成比例,V 矩阵的一列和模态参与因子成比例。当模态比较密集或有重根时,模态也有可能在CMIF的第二条或第三条曲线上。
47.png
  图3 CMIF曲线

  首先从CMIF曲线确定模态频率所在的位置和在第几条CMIF曲线上,并得到U 矩阵中和谱线的秩相应的一列矢量uq×1
48.png
  β为待定的复系数。此处,振型Ψq×1 为复数。

  假定从对某一频率处的FRF矩阵进行Hq×p进行复奇异值分解公式CMIF算法得到的模态振型是可靠的。一组复系数νi(i=1,2,…p) 为矩阵V的一列νp×1 。有
49.png
  此处σ 为对角阵Σ的一个和CMIF曲线对应的元素,即 CMIF曲线的值。

  对于提纯后的FRF,有
50.png
  此处ω0为CMIF最大值点对应的频率。

  对于提纯后的FRF,只有一阶模态,由
51.png
  可得
52.png
  此处最前的p点振型和参考点位置相同。

  由下式
53.png
  可得到下面等式
54.png
  或改写为
55.png
  此处
56.png
  由式
57.png
  可写成矩阵的形式
58.png
  此处元素iHRiHI,i 表示一组提纯后FRF的第i 个FRF。

  对于q个提纯后的FRF, N为半功率带宽内谱线的条数,用于构建上式。通过最小二乘法求解上式。 再由A=ωr2,B=2ξrωr得到模态频率和阻尼。

  当由上式,求出γ。再由式
59.png
  求出β。

  由式
60.png
  得到模态振型。

  三、工程实例
  实例1:
  这是在北航实验室完成的一个带方孔板的模态试验,只测和板垂直的方向,边界条件为自由。将4个传感器布在四个角,板在面内方向用钢丝绳悬挂,对垂直方向不造成约束,如图4所示。用锤子敲击所有的网格点,网格划分如图5所示。得到四组FRF,多变量指示函数MvMIF曲线如图4所示。
61.png
  图4 带方孔板的模态试验
62.png
  图5 模态试验测点的网格划分
  将提纯算法得到的模态分析结果和特征系统实现算法ERA得到的分析结果进行比较,如表1所示:得到的模态频率和阻尼的结果非常一致。图6为对两种算法振型进行比较的Cross MAC结果,所得振型也非常一致。

  表1 两种算法的分析结果比较范例
63.png
64.png
  图6 提纯算法对ERA的Cross MAC
  在以上的分析结果中,第6阶和第7阶模态非常接近。以上算例表明,提纯算法所得分析结果可靠,能识别密集模态。

  实例2:
  这是一个超大阻尼隔振台的模态试验,台子由工信部十院进行设计。台子长40米,宽7米,高0.7米,质量为1000公斤。前3阶刚体模态阻尼很大,阻尼比在20%到40%。这三阶大阻尼模态耦合在一起,造成模态参数用普通的参数识别算法很难识别,尤其是很难得到协调的模态振型。

  考虑到结构的对称性,MIMO试验时选择4个角的垂直方向进行激励,得到了4组FRF。振动台面均匀分成了10*4的网格,共有55个测点。台面下和台面上的振动认为是相同的,只测量垂直方向。传感器采用国家地震局力学所设计生产的941B,测量速度。频率分析区间为0到8Hz。
65.png
  图7 模态试验测点的网格划分

  表2 分析结果
66.png

67.png
  图8 4阶模态振型
  前3阶模态严重耦合在一起,集总显示的FRF如图9所示。
68.png
  图9 集总FRF显示

  图10是ERA参数识别算法得到的稳定图,图中曲线为CMIF复模态指示函数曲线。
69.png
  图10 ERA算法得到的稳定图
70.png
  图11 PolyLSCF[3]算法得到的稳定图
71.png
  图12 PolyIIR[4]算法得到的稳定图
  由于耦合严重,三种算法的稳定图都不够清晰。ERA算法稍好一点,但得到的刚体模态仍有个别点振型不够协调。

  为得到提纯后的FRF,各个激励点的系数如表3:

  表3 构造提纯FRF的4个激励点的系数
72.png
  四组FRF乘以表3中的系数,每次得到一组新的提纯后的FRF。图13为第1阶和第4阶提纯FRF集总显示,参数识别时可选不同的频率区间分别识别,得到的模态振型非常协调,如图8所示。图14为第2阶提纯FRF集总显示,图15为第3阶提纯FRF集总显示。通过式(46)求得的模态振型非常协调。
73.png
  图13 第1阶和第4阶提纯FRF集总显示
74.png
  图14 第2阶提纯FRF集总显示
75.png
  图15 第3阶提纯FRF集总显示

  四、结论
  1、在SIMO和MISO试验,提纯算法能识别小阻尼以及频率相差大于2Δf的模态参数。

  2、对MIMO试验, MvMIF理论可用来得到一组提纯的FRF。识别参数的精度依赖于MvMIF的最小值,由激励点个数和位置决定。当激励点数量足够且位置合适,即使重根的模态也容易识别。复模态指示函数CMIF的提纯算法,既可用于EMA试验也可用于OMA试验。

  3、提纯FRF得到后,参数识别过程因为只需考虑一阶模态,非常简单,可看作实时完成。MIMO试验的FRF提纯因可以利用MvMIF或CMIF的数据,也可看作实时完成。提纯算法是目前所有模态识别算法中,唯一对密集模态参数识别能达到实时级的算法。

  4、从工程实例可以看出,对于耦合严重或者超大阻尼的模态试验,提纯后的FRF已完成了模态解耦,能直观显示模态的频率和阻尼。

  5、新算法进一步发展了多变量指示MvMIF和复变量指示函数CMIF的理论。以前这两种指示函数只能用来指示模态的位置,提纯算法利用它们可进一步直接识别出所有的模态参数,即模态频率、模态阻尼和模态振型。MvMIF指示函数值的大小反映了激振器的数量是否足够以及位置是否适当。

  参考文献:
  [1] J. M. Liu,Q.H.Lu,H.Q. Ying, The Best Force Design of Pure Modal Test Based Upon a Singular Value Decomposition Approach, Advanced Aerospace Applications, Volume 1,Conference Proceedings of the Society for Experimental Mechanics Series, 2011, Volume 4, 119-129, DOI: 10.1007/978-1-4419-9302-1_11


  [2] W.Heylen, S.Lammeans, P.Sas, Modal Analysis Theory and Testing, K. U. Leuven, 1998


  [3] Robert E. Coleman, Ranall J.Allemang, Experimental Structural Dynamics, 2004, Author House


  [4] J. M. Liu, S. W. Dong, M. Ying, S. Shen.Dynamic Parameters Identification Technology in Bridge Health Monitoring, Proceeding of the 14th ASIA PACIFIC VIBRATION CONFERENCE, 2011, Dec. HongKong


  [5] William R. the Multivariate Mode Indicator Function in Modal Analysis Proc, 3th IMAC 1985


  [6] Nash M. Use of the Multivariate Mode Indicator Function for Normal Mode Determination. Proc, 6th IMAC 1988

  来源:东方所官网,文章收集于第二十七届全国振动与噪声应用学术会议论文集
  原题:模态参数识别新算法提纯算法研究
  作者:刘进明,刘峰,朱伟东

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