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[分形与混沌] 混沌现象基础知识总结:定义、基本特征及其判据

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发表于 2018-4-3 16:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  混沌现象及其定义
  混沌并非无序,简单确定的系统不仅可以产生简单确定的行为,还可以产生貌似随机的不确定行为,即混沌行为。混沌是指确定的宏观的非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机现象;是确定性与不确定性,规则性与非规则性或有序性与无序性融为一体的现象;目前在不同的学科领域里对混沌有不同的理解和表达方法,体现出在各自领域中的应用特点。

  (1) 混沌是非线性动力系统在一定控制参数范围内产生的,对初始条件具有敏感依赖性的非周期行为的状态,处于这种行为状态的系统称为混沌系统。其中非线性是动力系统出现混沌行为最根本的条件,是系统必然要具备的因素。

  (2) 在决定论混沌中,混沌是一种动力学系统的演化形式。在经典力学中,不论耗散系统还是保守系统的运动,都可用相空间中的轨迹来表示。混沌运动是确定论系统中局限于有限相空间的轨道的高度不稳定的运动。

  (3) 世界知名的动力气象学家,混沌理论的创立者之一Lorenz指出混沌具有三个特点:
        · 貌似随机;
        · 对初始条件敏感的依赖性;
        · 敏感的依赖于初始条件的内在变化。

  混沌的基本特征
       1. 对初始条件的敏感依赖性
  表现为对一条混沌轨道施加无穷小的扰动,则在时间演化过程中该轨道将以指数律发散的形式偏离原轨道。典型的现象是蝴蝶效应,也可用“失之毫厘,谬以千里”

  2. 长期不可预测性
  混沌的非线性动力学特性决定了混沌是不可以预测的,混沌对初始值的敏感性说明对其进行预测存在一定难度。对于一个混沌过程,对初始值的敏感性导致了每预测一次就会丢失一部分信息,当预测若干次后,丢失的信息越来越多,剩余的信息不足以进行合适的预测,因此混沌不适合做长期预测。

  3. 分形性
  分形性指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征,表示混沌运动状态具有多叶,多层结构,且叶层越分越细,表现为无限层次的自相似结构。混沌的相图通常表现为复杂的结构,通过放大可以观测到自相似特征。

  4. 有界性
  混沌运动轨线始终局限于一个确定区域,混沌吸引子是混沌有界性的最好体现。

  5. 遍历性
  混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的,在有限时间内混沌轨道不重复地经历吸引子内每一个状态点的邻域。

  6. 混沌的运动限于有限区域且轨道永不重复

  7. 具有丰富的层次和自相似结构

  混沌系统的判据
       所有混沌系统一定是非线性系统,但非线性系统不一定是混沌系统。确定一个系统是否存在混沌需要从多方面加以分析,结合定性分析系统机理和其他方法,一下简介一些常用的判别系统或时间序列是否具有混沌特性的方法。

  1. Poincare截面法:在相空间中选取一截面,在截面上某一对共轭变量构成的截面称为Poincare截面。当Poincare截面上是一些成片的具有分形结构的密集点时,说明系统是混沌的。

  2. Lyapunov指数法:李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移,按指数分离或聚合的平均变化速率,正的李雅普诺夫指数意味着混沌。

  3. 时域及相轨迹的直接观察方法:在时域分析里,可通过观察各个状态变量的时域波形,发现分岔和阵发性混沌。

  4. 分维数:混沌运动具有某种潜在的秩序,并能以相对较少的自由度来描述。分维数给出了有关混沌的自由度的信息,分维数的具体形式有很多种。

  5. Kolmogorov熵:关联维数和Kolmogorov熵的计算可以在相空间中进行,包括最小二乘法等。

  6. 分形理论分析方法。

  本文内容在摘录自豆丁网《混沌理论——杜芬混沌综述》讲义,讲义作者不详。

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发表于 2018-4-12 21:15 | 显示全部楼层
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发表于 2018-5-16 11:48 | 显示全部楼层
怎么通过分岔图判断是混沌系统呢?或者说混沌系统的分岔图有什么特点?
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