结构动力稳定性研究现状及其与静力稳定性的本质区别

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　　稳定问题是结构工程研究中的一个重要问题。结构稳定性虽然有不同的定义，但概略来讲，是研究系统在外界微小干扰时，系统状态的变化是否也不超出预期范围的问题。结构的动力失稳可由参数激振、自激振动、共振或强迫振动所诱发，对应的动力失稳现象有大振幅的振动或者动力逃逸(跳跃)运动。

　　本文对结构动力稳定性研究现状进行了评述，并比较分析了动力失稳与静力失稳之间的本质区别。

　　1、结构动力稳定性研究现状
　　根据荷载的类型，结构的动力稳定性问题可分为冲击荷载作用下的动力稳定、周期荷载作用下的动力稳定、任意激励(如地震动、脉动风等)作用下的动力稳定。目前，虽然已经发展了各种各样的动力失稳判别准则，但是对动力稳定性的本质及机理却没有达成统一的认识。这里，仅对已经提出的主要动力失稳判别准则进行总结与评述。

　　第一类动力稳定问题是在冲击荷载作用下的结构稳定问题。迄今较有影响的判定准则包括B-R运动准则、Hsu(徐皆苏)能量准则、Simitses总势能原理、王仁能量准则等。这些准则建立的前提是保守系统，推广至非保守系统的合理性仍未得到解决。在实际应用中，这些方法存在不同的限制条件。

　　第二类动力稳定问题是在周期荷载作用下的动力稳定问题，动力失稳的典型形式有共振、参数共振及强迫与参数联合共振失稳等。一般来说，这类问题可以Lyapunov理论为基础求解。但值得注意的是，目前所得到的结果大多针对简单结构，对于复杂的强非线性系统，应用Lyapunov准则判定系统稳定性是困难的。

　　Lyapunov稳定的定义来自于周期激励，若将该定义推广至其他荷载形式，得出的结果有可能是不准确的。因此，对于在任意激励下的结构非线性动力稳定问题，唯一的途径是求取结构的时程响应，并据此判定结构的动力稳定性。通常，可以依据结构切线刚度的某种特征量变化来判别任意荷载作用下的动力稳定性，称之为拟静力刚度准则。对于大型复杂结构，则可通过构造与刚度性质密切相关的隐式物理量(总势能变化量或应变能变化量)来判断结构切线刚度的变化，其本质是拟静力刚度准则 。结构动力稳定性判定准则如图1所示。

　　图1 动力稳定性判定准则

　　2、动力失稳与静力失稳的本质区别
　　以跳跃型失稳为例，采用如图2所示的非线性弹簧模型，说明静力失稳与动力失稳的本质区别。在图2所示模型中，小球无质量且其初始位置位于O点;非线性弹簧的承载力为f(x)，其变化规律如图3所示，最大承载力与最小承载力分别为P0和-P0。(图3为跳跃型失稳的典型荷载-位移曲线);小球所受外荷载为P(t)，方向如图2所示。假定小球一直沿着合力方向运动。

　　图2 非线性弹簧模型

　　图3 非线性弹簧承载力变化

　　静力作用的特征是作用在小球上的外荷载不随时间变化，即：

　　图4 静力作用

　　见图4。此时，弹簧受力过程可描述如下：

　　(1) 若

△P

≦ 0，则P(t) ≦ P(0)，意味着外荷载终不会超过小球的极限承载力。在初始时刻t0，由于只有外力作用，小球的位移不断增大，弹簧承载力也随之增大，直至与外力相平衡(图5中A点左侧)。在该过程中，切线刚度始终为正。

　　图5 静力失稳的动态过程

　　(2) 若

△P

> 0，则P(t) > P(0)。在t0到t1时刻，小球从O点运动到A点，由于此时作用在小球上的力是不平衡的，合力方向与外荷载一致，导致小球的位移继续增大，弹簧出现软化并使承载力下降，从而作用在小球上的合力进一步增大，并且方向不发生变化。在A点(t1时刻)后，随着小球位移的不断增加，非线性弹簧的承载力逐渐减至零，然后在t2至t3时刻反向增至C点处。此后，弹簧从C点到D点反向软化(t3至t4时刻)。在t4时刻，弹簧承载力在D点处再次变向，直至弹簧的承载力在E点处再次与外荷载相平衡。


　　从上述整个过程可以看到，自A点后到重新平衡，小球的合力方向始终保持不变(即与外力方向一致)。同时，从A点转换到E点的整个过程通常是非常短暂的，可观察到小球的跳跃失稳现象，跳跃现象发生的标志是弹簧开始出现软化(即切线刚度开始负定)。分析可知，静力失稳的发生与切线刚度出现负定是等价的。静力失稳的“动态过程”如图5所示。

　　对于动力过程，作用在小球上的外荷载随时间发生变化。为简明设计，考虑如图6所示的阶跃荷载。此时，外荷载且△P→0为阶跃性变化。弹簧受力过程将表现出完全不同的特征，描述如下：

　　图6 阶跃荷载

　　(1) 从初始时刻t0到t1时刻，P(t) = P(0) + △P，△P ≦ 0，则弹簧内力逐步增大至其临界承载力P0(A点)，由于处于临界平衡状态，弹簧有软化的趋势，切线刚度趋于小于零的方向。

　　(2) 在t1时刻外荷载发生突变(卸载)，弹簧内力方向随之发生突变且与x方向相反。随时间增加，弹簧回缩，小球位移减小，其位置从t1时刻的A点向回运动到t2时刻的B点，如图7所示。

　　图7 动力失稳动态过程

　　(3) 在t2时刻，外荷载再次发生突变(加载)，弹簧内力方向随之发生突变且与x方向相同。若P(t) = P(0) + △P，△P > 0，则到t3时刻，外荷载始终大于弹簧的临界承载力，弹簧发生软化(即切线刚度为负)。在t3时刻，小球位于图7中的C点。

　　(4) 在t3时刻再次撤去外荷载，小球将回缩至图7中的D点。从t3时刻到t4时刻，弹簧内力方向与x方向相反。

　　(5) 在t4时刻再次施加外荷载，弹簧内力方向再次与方向相同。此后，若一直施加外荷载，则弹簧内力方向将不再发生改变，因而小球的合力方向与外荷载方向一致。从t4到t7时刻，小球位移持续增大，并可以观察到小球从D点到G点的跳跃失稳现象。

　　从图7中可以看到，动力失稳发生在D点，而并非在可能出现负刚度的A点。切线刚度出现负定与发生动力失稳并不是等价的。

　　若作用于小球上的动力荷载为不断反复变化方向的动力荷载(如地震动)，则即使考虑阻尼力与惯性力，小球合力的方向也将不停地发生变化，直到合力方向持续一致，促使小球位移迅速增大，才会发生动力失稳。极值型失稳与跳跃型失稳的根本区别在于，后者发生失稳后，弹簧的承载力将会一直反向增强，而不会像前者那样出现反向软化并再次回复到正向承载力的过程;两者的相似点在于，发生失稳后，小球合力的方向将始终不变。

　　以上分析表明，结构动力稳定性的判别，不仅与结构自身特性有关，亦与作用在结构上的动力荷载有关。因此，需要综合考虑结构特性与外部荷载特征来判定结构的动力稳定性。

　　本文摘录自李杰、徐军撰写的《结构动力稳定性判锯新准则》，该文刊发于《同济大学学报(自然科学版)》2015年第7期。