力学研究方法之凌波微步

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　　前篇《小议段誉与力学的相似性》中写到凌波微步，只写了凌波微步的武学要义，没有解释在力学中如何运用凌波微步，本篇扯扯在力学研究中如何运用凌波微步克敌制胜。

　　凌波微步本是三国时期曹植所著的辞赋名篇《洛神赋》中的语句：“凌波微步，罗袜生尘。”用以描写洛神行走时的身形步法，武侠大师金庸先生将其用作《天龙八部》中的一门绝顶轻功，其中名句“体迅飞凫，飘忽若神”及“动无常则，若危若安。进止难期，若往若还”就成了这种武学的注解。在《天龙八部》中，段誉在无量山的“琅环福地”中偶得的一部画卷中学会了凌波微步和北冥神功，开始了他的武林生涯。

　　小说中特别提到凌波微步的用处“猝遇强敌，以此保身，更积内力，再取敌命”。这句话如果说的再直白一点，就是如果遇到非常厉害的对手打不过，怎么办?先以巧妙的步伐躲开强敌的攻势，积蓄内力，再战以胜敌。段誉在学会凌波微步后首战岳老三，便以凌波微步一次次避开了凌厉攻势，并最终利用灵活的步伐占据要位点了其穴位取得胜利。

　　如果我们将“猝遇强敌，以此保身，更积内力，再取敌命”视为凌波微步的武学要义，力学史上以“凌波微步”取得重大研究成果的大师比比皆是!

　　先说被誉为“近代力学之父”、“现代科学之父”的伽利略，他著名的斜面实验在我看来就是一招“凌波微步”。在伽利略之前，运动学的发展十分奇特，对于天体的运动学可以说已经取得了较高的成就(以托勒密、哥白尼、开普勒等为代表)，然而人们对地上物体的运动的理解却还停留在感知的基础之上。普遍认为天体运动和地上物体的运动是两种截然不同的运动，天体的运动是一种“天然状态”，天然的就在动;而地上物体是天然的不动，给物体施加作用力才能发生运动，这种观点导致了人们对地面上物体运动的研究不是运动学本身，而成为一种探讨物体运动“最后因”的研究。

　　一个非常著名的例子就是“在地面上向上抛出去的物体为什么总要落向地面?”当时人们不知道万有引力的存在，只能猜测每一物体都有它“天然的位置”，向上抛出去的物体落向地面必然要寻找它们“天然的位置”;并且认为物体都有所谓本质的重或轻，它们在上升或下降过程中的速度和自身的轻重成比例，因此，对于落向地面的小球，它们会以不同的力量“寻找它们天然的位置”。

　　伽利略很难接受这种神秘的猜测，他认为与其讨论“小球为什么要落向地面”还不如描述清楚“小球是如何落向地面的”，即去寻找一种方法来描述小球的落体运动，例如小球落下需要的时间，运动速度如何。然而在伽利略的时代，要完成这个工作是非常不容易的，首先记录时间的钟表还没有出现;其次，小球的落体运动是一个非常快的过程，非常不利于观察。

　　伽利略采取了一种以退为进的方法，既然小球的自由下落很快，没有办法观察，就不如把小球放在一下斜面上，让小球缓慢下落，以便于观察，这样伽利略就避开了不能直接观察小球自由落体的难点。从研究方法上看，伽利略面对自由落体问题采取了退而求其次的方法，先研究斜面上下落的小球。伽利略斜面的意义一方面使得观察小球运动成为可能，另一方面如果将斜面逐渐竖起，倾斜角逼近90度时，斜面上小球的运动就会越来越接近于自由落体。这就是“更积内力，再取敌命”，通过斜面的逐渐逼近来解决小球的自由落体运动。

　　另外一个例子是欧拉对刚体运动可积情形的求解。我们知道牛顿在力学史上的地位举足轻重，他的《自然哲学的数学原理》更是力学发展史上的里程碑，然而，牛顿力学只提供了分析质点受力与运动的原型，对复杂运动，甚至一个简单的刚体运动也没弄清楚。1765年欧拉针对于刚体运动，写出了刚体绕定点运动的一般方程(著有《刚体运动理论》)，如下：

　　为了理解上述方程中各项的意义，我们先假设一个刚体在空中绕定点转动的例子(如下图)，首先，我们需要一个固定的坐标系(下图中的蓝色坐标系)作为刚体运动的参考，由于刚体转动，必然有旋转轴，这个轴在固定坐标系内是不固定的，必须在刚体上给它设置一个伴随坐标系(下图中红色坐标系)，将刚体绕定点的运动，分解为绕伴随坐标三个轴的定轴转动。

　　刚体的定点运动分解(维基百科)

　　这样，一般方程中的A、B、C分别刚体对伴随坐标系三个坐标轴的转动惯量;p、q、r分别为刚体角速度向量的三个坐标分量;M1、M2、M3分别为描述刚体绕固定点的合力矩在伴随坐标系中的三个分量。

　　刚体绕定点运动的一般方程有了，但是方程的求解却存在非常大的难度，欧拉也不能一次解决，“猝遇强敌”，既然所有因素都考虑上不好求解，欧拉就先设外力矩为0，这样方程的右边全部为0，得到了第一种可积情况。虽然问题没有被完全解决，但终归是解决了一部分。

　　在后来刚体绕定点运动问题的求解中，欧拉的后继者基本承袭了欧拉的这种以退为进的方法，1788年拉格朗日找到了A=B，但不等于C(此时刚体对固定点的惯性椭球是一个旋转椭球)，并且刚体重心恰好位于惯性椭球的旋转轴上时的可积情形;1888年俄罗斯女数学家索菲亚. 科瓦列夫斯卡娃 (Sofia Kovalevskaya, 1850-1891) 找到了A=B=2C，且刚体重心恰好位于回转惯性椭球的赤道平面上的可积情形。

　　美若天仙的索菲亚 (维基百科)

　　1951年苏联发行了纪念索菲亚的邮票(维基百科)

　　“猝遇强敌，以此保身，更积内力，再取敌命。”已经成了力学家惯用的手段。在弹性力学课程中，讲解应力函数法求解弹性力学问题，导出变形协调方程为：

　　这个方程的求解不那么容易，但是可以假设在常体力情况下进行求解，常体力对坐标求导为0，上述方程就成了

　　这就大大简化了求解。在讲解应力函数法时，要先做简单的“=0”的情况，等简单问题弄清楚了，再逐渐增加难度，如体力虽不是常数，但存在势函数的情形，又或者将体力转换为面力(边界条件)来考虑。

　　这样的例子在力学中举不胜举，例如结构分析中不计重力、动力学分析中忽略阻尼、圣维南忽略次要边界的精确性等等，自然/工程给人类出了很多难以求解的问题，力学家总能踩着轻盈的步伐，通过变换不同方位来避难题之锋芒，在理想条件下，对其进行简化求解，然后再逐渐的考虑多因素情况，并最终达到解决问题的目的。这不正是在面对难题时，力学家使出的一招凌波微步吗?

　　参考文献：
　　张伟伟等.伽利略斜面试验体现的力学思维. 北方七省市力学会议. 2016
　　丹皮尔, 李珩. 科学史及其与哲学和宗教的关系[M]. 广西师范大学出版社, 2001.
　　武际可. 力学史第2版. 上海辞书出版社. 2010.

　　来源：力学酒吧公众号(ID：Mechanics-Bar)，作者：张伟伟 太原科技大学。