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[其他] 信号处理绕不过去的坎:相关与卷积

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发表于 2018-5-10 10:27 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  相关与卷积的计算公式想必大家一看便懂,可其中奥义,囫囵吞枣,不得奇妙,原理与物理意义,我要吃了你们!

  相关函数
  外衣不神秘,先剥开看看
  信号啊信号,多想将你蹂躏,事实上,却反被蹂躏至死 …

  信号到底是个什么东西,千百年来为何无数先人前赴后继,说白了就是电磁波;深了点就是电磁波的形状包含了信息;再深了点就是电磁波的形状被编了码或加了密;归根究底,就是电磁波嘛,只不过像是雕刻艺术一样搞得富含”深意”,或圆润,或线条错乱,或姿态妖娆…【shape请自行脑补】。

  对不起,好像扯远了,那么重点来了,快划!

  相关函数是干嘛滴!谁搞出来滴!搞出来干嘛滴!这都是需要好好想一想滴!
  举个例子先:为什么序列的自相关函数可以体现出随机性?


  一串由+1、-1组成的序列完全随机,另外一个序列也完全随机一一OK, 相乘的结果肯定有一半是-1,一半是+1,全部加起来肯定是0。
  一个完全随机的序列,他进行N拍延迟后得到的一定是另外一个完全随机的序列。如果你同意上一段话,那么后面不需要我解释了吧。如果序列的随机性不够,则一一相乘得到的+1和-1个数不相等,全部加起来的结果就不是0,随机性越差,结果之绝对值就越大。

  所以我们看到了什么:信号的相关函数透露了一个秘密,现在的我和N年之后的我有多相似。

  互相关函数:
1.png
  自相关函数:
2.png
  通俗的讲,所谓相关函数的性质,差不多就是一个人有哪些特点的意思了。

    · 共轭对称R(τ)=R∗(−τ);

    · 自相关原点值equal to信号能量 3.png

    · 相关函数的面积equal to信号面积模的平方(这个画图才行);


    · F[R(τ为实数;


    · 若两信号频域上能量谱相同,时域波形不同,则两信号相关函数相同。


  信号卷积
  与相关函数傻傻混淆
  前面相关函数已作说明,那么卷积又是什么呢,有那么麻烦吗?

  不推荐用“反转/翻转/反褶/对称”等解释卷积。好好的信号为什么要翻转?导致学生难以理解卷积的物理意义。这个其实非常简单的概念,国内的大多数教材却没有讲透。

  直接看图,不信看不懂。以离散信号为例,连续信号同理。

  已知x[0]=ax[1]=bx[2]=c
4.png
  已知y[0]=iy[1]=jy[2]=k
5.png

  下面通过演示求x[n] * y[n]的过程,揭示卷积的物理意义。

    · 第一步,x[n乘以y[0]并平移到位置0:
6.png
    · 第二步,x[n乘以y[1]并平移到位置1:
7.png
    · 第三步,x[n乘以y[2]并平移到位置2:
8.png
    · 最后,把上面三个图叠加,就得到了x[n] * y[n]:
9.png
  所以呢,卷积就是加权求和,通俗的说:在输入信号的每个位置,叠加一个单位响应,就得到了输出信号。这正是单位响应是如此重要的原因。

  下面搬搬搬,知乎大神实在太厉害,不得不佩服:

  复利的例子来理解卷积可能更好理解一些:

  小明存入100元钱,年利率是5%,按复利计算(即将每一年所获利息加入本金,以计算下一年的利息),那么在五年之后他能拿到的钱数是,如下表所示:
10.png
  将这笔钱存入银行的一年之后,小明又往银行中存入了100元钱,年利率仍为5%,那么这笔钱按复利计算,到了第五年,将收回的钱数是100(1+5\%)^4,我们将这一结果作为新的一行加入上面的表格中:
11.png
  以此类推,如果小明每年都往银行中存入新的100元钱,那么这个收益表格将是这样的:
12.png
  可见,最终小明拿到的钱将等于他各年存入的钱分别计算复利之后得到的钱数的总和,即:
13.png
  用求和符号来简化这个公式,可以得到:
14.png
  在上式中,为小明的存钱函数,而为存入银行的每一笔钱的复利计算函数。在这里,小明最终得到的钱就是他的存钱函数和复利计算函数的卷积。

  为了更清晰地看到这一点,我们将这个公式推广到连续的情况,也就是说,小明在从到的这一段时间内,每时每刻都往银行里存钱,为他的存钱函数,而银行也对他存入的每一笔钱按复利公式计算收益,则小明到时间将得到的总钱数,这也就是卷积的表达式了,上式可以记为:
15.png
  相信通过上面这个例子,大家应该能够很清晰地记住卷积公式了。

  下面我们再展开说两句:

  如果我们将小明的存款函数视为一个信号发生(也就是输入/激励)的过程,而将复利函数视为一个系统对信号的响应函数(也就是反馈/响应),那么二者的卷积就可以看做是在时刻对系统进行观察,得到的观察结果(也就是输出)将是过去产生的所有信号经过系统的「处理/响应」后得到的结果的叠加,这也就是卷积的物理意义了。

  此处请注意卷积公式,对比相关函数公式,你会发现有意思的事情。

  输入信号:s1(t),冲激响应:s2(t)
16.png
  此处放上相关函数公式,方便对比,互相关函数:
17.png
  是不是可以发现点interesting的地方,get 一下点,神奇的公式:
18.png
  卷积的性质,脾气怎么y:可交换/可结合/可分配,记住这个就行。

  相关与卷积的区别:

    · 相关公式和卷积公式很像,相关能利用卷积表示,所以有人觉得两个概念有关系,其实二者从概念上没有联系。

    · 相关运算中被积函数没有时间反褶的过程,而卷积运算中有。


    · 相关函数不满足交换,而卷积可以。

  Matlab中的函数
  Cross-correlation(互相关)
  两个离散时间序列的互相关【图片没太搞明白。。。( ╯□╰ )】
19.png

  Convolution(卷积)
  两个向量u,v的卷积输出【图片还是没太搞明白。。。再( ╯□╰ )】
20.png

  仿真结果:
21.png
  信号st

22.png
  信号整体

23.png
  信号最左端

24.png
  信号最左端稍右一段

25.png
  信号中间放大

26.png
  信号中间继续放大

27.png
  信号中间再继续放大

  在上面的仿真中,自相关函数等于其与自身的卷积!!发现没有!!!符合get的点!!!!哈哈哈哈!
28.png

  来源:电子工程专辑公众号(ID:eet-china)

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