多体动力学里的欧拉角解析

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　　为了能够描述一个多体系统(如汽车、飞机、机器人)在空间的位姿变化，首先应该建立两个坐标系，即全局坐标系 (Global Coordinate) 和体坐标系 (Body Coordinate)。

　　两个坐标系多是采用笛卡尔坐标系(直角坐标系)描述物体位姿，并都采用右手坐标系描述。

　　全局坐标系为惯性坐标系，固定于大地，不随物体运动而变化。体坐标系固定于物体上，随物体运动而变化。

　　对于平面运动的物体，通过坐标变换即可描述两个坐标系之间的变换关系：

　　但是对于空间三维的多体系统中，则位置比较复杂。

　　Lenolard Eular提出利用空间坐标的三个相对位置角度描述坐标方向的变化，即欧拉角。

　　欧拉角是在空间中描述从一个用于表示某个固定的参考系的、已知的方向，经过一系列基本旋转得到、新的代表另一个参考系的方向的方式。欧拉角是描述各个坐标系间的转换关系。

　　下面三张动图形象的表示了欧拉角的旋转方式。第一张是绕x轴旋转pitch，第二张绕y轴旋转yaw，第三张是绕z轴旋转roll。

　　欧拉角代表一系列的三维基本旋转， 也就是围绕一个坐标系的各轴的一系列旋转。这些旋转都是从一个已知的标准方向上进行的。在物理中，这个初始化的标准方向通常是一个静止的坐标系。

　　广义上来说，欧拉角共有24种方案，在车辆工程中通用的欧拉角为“3-2-1”。具体来说，就是先固结车身(体)坐标系与全局坐标系，则车身坐标系的任意姿态可通过三个顺次转动获得：先绕Z轴转α(横摆角)，再绕X轴转β(俯仰角)，最后绕Y轴转γ(侧倾角)，三个角α、β、γ总称为车辆姿态角。

　　定义完欧拉角之后，就可以利用坐标系变换矩阵将体坐标系下的位姿转换到全局坐标系下，后建立动力学或运动学方程。

　　来源：多体动力学与控制公众号(ID：MultibodyDynamics)，作者：王杨。