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[动力学和稳定性] 太空拔河胜负再分析

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发表于 2018-7-12 11:03 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  导读
  在太空中,由于失重的原因,很多事情的体验都与在地球上截然不同,比如拔河,你能想象在太空拔河是怎样一种情形吗?力气大的一定会赢吗?

  在1982年出版的经典教材中,举了一个有趣的动力学例子——太空拔河。 问题为:两宇航员在太空中拔河,他们的质量力气不同,则胜负如何?

  两宇航员和绳子组成的质点系不受外力,是说明系统动量守恒的一个很好的例子。 该例为一些常用著名教材所采用。因初始时刻系统静止,质心保持不动,两拔河者同时到达质心处。 这些教材中关于动量守恒和质心不动的论述,无疑是正确的。 然而,在课堂上学生们常常会对胜负问题产生辩论。其关键是绳子的运动。 通过观察绳子上的标志点相对于太空中的固定点的位置变化,来得出胜负。一种观点为不分胜负,理由是质点系质心是不动的,所以不分胜负。但质心不是绳子上的某个特定点,绳子是运动的。文献认为质量和力气都是取胜的因素,通过动力学和运动学分析,给出了绳子的加速度公式。在该公式中,认为力气与拔河者相对于绳子的相对加速度有关,但没有分析相对加速度产生的机理。本文把宇航员能够给出的拉力定义为力气,对绳子加速度进行了分析,从而确定胜负。

  一、对不合理结论的讨论
  “不分胜负”、“拔河者的质量是获胜因素”和“力气大者不能使出全部力气”,是三种不合理的观点,说明如下。

  1、不分胜负
  宇航员A和B的质量分别为mA mB,且mA <mB,如图1所示。 如果宇航员A的力气比B大,那么胜负如何?文献指出了不分胜负结论是错的,本文对质点系质心位置作一点补充说明。
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  图1 太空拔河示意图
  虽然两宇航员和绳子组成的质点系质心位置不动,但质心一般不与绳子上的特定点重合,绳子是运动的。 系统初始时刻静止,绳子上的星号标记与太空中三角形固定点对准。设初始时刻,绳子上的星号标记与系统质心O重合。 如果宇航员B只是把绳子绑住身体,而不用手拉动绳子,由宇航员A拉动绳子,绳子必然和宇航员B一起向宇航员A的方向移动,但系统质心不动。为了说明质心位置不一定与质点系中的某一特定质点重合,再看一个更明显的例子。如图2所示,用销钉连接的质量尺寸相同的两均质杆,在左图位形时,质心O与连接两杆的销钉重合;而在右图位形时,质心O1与销钉以及系统中的任何实体质点都不再重合。
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  图2 质点系质心位置的变化

  2、力气大者不能使出全部力气
  在对“不分胜负”解释中,同时指出“A要受到B的限制,A无法使出全部力气”。 如上所述,如果宇航员B只是把绳子绑住身体,而不用手拉动绳子,由宇航员A全力拉动绳子。宇航员B使出的力气为零,不计绳子质量,两宇航员受力大小相等。如果按照“A要受到B的限制”的说法,A使出的力气也为零。因此,这种观点不正确。

  3、拔河者的质量是获胜因素
  文献给出了绳子的加速度公式。
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  其中arA arB 分别为A和B相对于绳子的加速度,如图3所示。只要arB ≠0,mBarB>mAarA时,B获胜。实际上,需要对上式中相对加速度作进一步分析。我们知道,一个在单杠上做引体向上的人,当其力气不足以克服自身重力(力气小于重力)时,他只能是挂在单杠上,身体不能产生向上的加速度。单杠对手的作用力,等于身体的重力。同样,不计绳子质量,两拔河者受力相等,力气小者不足以克服由于绳子拉动而产生的自身向后的惯性力。或者说,不打滑时,力气小者就相当于挂在绳子上,不能产生相对加速度。
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  图3 系统加速度

  二、考虑绳子质量
  1、动力学方程
  设宇航员A和B能使出的力气分别为PAPB,且PA>PB,绳子的质量为m。宇航员A手与绳子之间不打滑。绳子、A和B的受力如图4所示。FA=FA'=PA,但FB=FB'可以等于或大于PB
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  图4 拔河者受力分析

  2、力气大者胜
  由上式可见,只要A的力气比B的力气大,绳子的加速度必大于零,A胜;当A的力气与B的力气相等时,绳子的加速度为零,平局。

  (1) 力气小者手与绳子打滑情况

  若
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  即
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  其中,FB 为动滑动摩擦力。以B为动点,动坐标系建立在声子上。由加速度合成定理aB=a+arB,参照图3,向aB方向投影,得
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  B的相对加速度方向与图3所示相反。

  (2) 力气小者手与绳子不打滑情况

  首先,B的力气小得不多,仍能产生相对于绳子正的相对加速度(与图3所示方向相同的相对加速度)
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  其中,aB=FB/mB=PB/mBa=(PA-PB)/m。设B质量是绳子质量的k倍,即mB=km
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  其中,arB>0。
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  又PB<PA,所以
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  设k=20,
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  其次,B力气小到不能产生相对于绳子正的相对加速度,即B的力气不能保证PB>k/k+1PA的条件,但手与绳子不打滑,相当于把绳子绑到B上 (FB>PB),则
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  三、绳质量不计
  (1) 如果B与绳子之间打滑

  由
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  可知
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  (2) 如果B与绳子之间不打滑
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  由
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  可知
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  以A为动点,动坐标系建立在声子上。由加速度合成定理aA=a+arA,参照图3,向aA方向投影,得
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  四、结 论
  太空拔河胜负从观察绳子上的标志相对于固定点的位置变化得到结果,力气大者胜。不计绳子质量,力气小的拔河者,相对于绳子不能产生相对加速度,相当于被绑在绳子上。

  来源:力学与实践公众号(ID:lxysj_cstam),作者:杜茂林, 陈平等。原文刊载于《力学与实践》2017年第6期,略有改动。

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