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[结构力学] 主振型的正交性及其物理意义浅析

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发表于 2018-7-12 16:41 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  在同一体系中,不同的两个固有振型之间,无论对于质量矩阵或是刚度矩阵,都具有正交的性质,分别称为第一正交性和第二正交性。

  利用这一特性,一是可以将多自由度体系的强迫振动简化为单自由度问题(主要应用在任意干扰力作用下的强迫振动),二是可以检查主振型的计算是否正确,并判断主振型的形状特点。

  主振型的第一正交性
  n个自由度体系的振型方程为:
1.png
  设ωi为第i个自振频率,其相应的振型为 2.png ωj为第j个自振频率,其相应的振型为 3.png 。将它们分别代入上式,可得:
4.png
  对上边第一个公式两边左乘以 5.png ,对上边第二个公式两边左乘以 6.png ,则有:
7.png
  将上式两边转置,将有:
8.png
  将:
9.png
  减去
10.png
  得:
11.png
  当 12.png 时,得:
13.png
  即:
14.png
  上两式称为主振型的第一正交性,它表明,对于质量矩阵[M],不同频率的两个主振型是彼此正交的。

  主振型的第二正交性
  将
15.png
  代入
16.png
  可得:
17.png

  上式称为主振型的第二正交性,它表明,对于刚度矩阵[K],不同频率的两个主振型也是彼此正交的。

  主振型正交性的物理意义
  1、第一正交性的物理意义
  将 18.png 分别乘以 19.png 20.png ,可以得出以下两式:
21.png
  上式说明第i主振型惯性力在第j主振型上所做的虚功为零;
22.png
  上式说明第j主振型惯性力在第i主振型上所做的虚功为零。

  因此,第一正交性的物理意义是:相应于某一主振型的惯性力不会在其他主振型上做功。

  2、第二正交性的物理意义
  由
23.png
  可推导出
24.png
  由
25.png
  可知,第二正交性的物理意义是:相应于某一主振型的弹性力不会在其他主振型上做功。

  3、小结
  主振型的正交性可理解为:相应于某一主振型作简谐振动的能量不会转移到其他振型上去,也就不会引起其他振型的振动。因此,各主振型可单独存在而不互相干扰。

  来源:整理自重庆大学土木工程学院《结构力学——主振型的正交性》PPT讲义

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