力学科普：作用量与哈密顿原理

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　　作用量在现代物理的力学部分中处于基石的地位，不少人甚至物理系的本科生一看作用量和拉格朗日函数就打怵，但笔者要说，你自己吓唬自己而已。前者是嫌太抽象，后者是把从小学学到高中的数学当做噩梦，一见量、函数这些词就发懵。

　　实际上，这东西根本不是什么洪水猛兽那样的吓人玩意，就以一个很简单的例子入手。

　　小时候，妈妈在厨房里做饭，有时会叫你拿个碗啊勺啊的过来。碗和勺放在一定距离之外，从你所在的位置到碗勺所在的位置，有无数条路可以走，可以直着过去，也可以绕山路十八弯，还可以转两圈再走。我问你：你走哪条路?

　　你一定会大笑：直着过去呗，绕弯子就多走，那不是脑子有病么。

　　既然如此，你还说你不懂作用量和哈密顿原理?你这不瞎说么?

　　跑最少的路——这就是哈密顿原理的内容，你跑了多少脚程，那就是作用量。所以说这两个概念其实是很灵活的概念，不同的问题里有不同的界定。跑路问题是路，投资做生意的问题那就是收益/投资比，一言以蔽之，最小代价就是这个规律的精髓。

　　现在你直着跑过去拿到碗勺了，假如，我是说假如，你当初选择的运动路径比真实路径稍有偏差，这条虚拟的路径肯定比真实的直线路径要长一点，而且你很容易发现，无论作什么偏差，得到的虚拟路径都比真实路径长，这个差值记为δL("δ"表示微小偏差)。

　　如果你的真实路径的确是最短的，那么这个差值会有什么表现呢?我再举一个形象的比喻。

　　如果你站在山腰斜坡上，那么你脚下的感觉和在平地上肯定不一样，你要想站稳就得花点功夫注意脚下，而如果你站在山顶，你脚底下那一小块地面你会感觉到是“平”的，你可以不用使着个劲撑住脚面，尽情一览众山小。是吧?

　　最高点总是平的，同样道理最低点也肯定是平的，写成上面的形式就是δh=0。同理，对最短路径的描述便成了式子：δL=0。

　　这就是哈密顿原理，一个极其稀松平常的规律，只是你没想到而已。而被哈哈了的那个量"L"，就是那个看起来似乎很吓人的作用量。

　　下面你就会问了：那些物理定律和这个有什么关系?你能从那些定律里面给我抠出这么个式子来?

　　这个因为是科普贴，所以我只告诉你的确能，后面我会给出力学作用量的形式，你可以用它套一下匀速直线运动啊自由落体啊之类最简单的动力学现象，看是不是把路径稍微变动一下都会使得作用量变大?

　　我结论先告诉你：肯定的，至于验证，你可以自己算。这个东西，你不自己动手算算是没办法的。

　　在力学框架下，作用量是这么一个量：

　　坏了，看到微积分你可能打怵了是吧?在这简单告诉你怎么算：你就把整个过程拆成一小段一小段，对路线拆出来的一小段就是dx，对应的时间小段就是dt。想象将dx 和dt 拆得“无限短”，由于dx 和dt 非常短，所以可以认为这一段内的动量p 和能量E 是不变的，顺着这个过程，求出每一段的pdx -Edt，再全部加起来得出总和，这就是结果。这里也顺带介绍了微积分的基本思想，我可以负责任的告诉你微积分不过就是这么回事，那些公式都是浮云。以后你见到这个词可以一笑：就是无限拆分再求和嘛——我告诉你，没人能说你这是错的。

　　回到主题，这就是作用量，这是根据真实的物理定律以及求最小值的原则得到的定义，不要试图问哎呀为什么偏偏就是这个而不是别的形式呢，我改改行不?不行，因为这个形式与物理定律是挂钩的，物理定律不变，作用量这玩意也只能是这么回事。

　　真实的动力学运动过程，就是随着运动使这个量的累积得最少的过程，上一楼中曾经说其他路径是“虚拟”的，意思就是它不是真实的过程。这就是物理中的哈密顿原理和作用量，其实根本不算什么晦涩的东西。因为上帝是人造的，所以上帝的思考方式其实和人一样，人喜欢图省事，上帝一样要图省事，只不过他搞了个不太明显的“省事”标准而已——也就是那个让人乍一看可能有些摸不着头脑的作用量的形式。

　　说到上帝有些人可能会嗤笑，但作用量这种东西的确颇具神学味道。这个量对于物理规律本身不是必然，但对于物理规律和人类思维两者的结合，就具有一些必然性了。物质是按物理规律运动的，作为人，总会去想“它怎么就偏偏按这套规则来运动呢?”想来想去，最后就会想到一个无论作怎样的虚拟变动，总会增加，或总会减少的量(这里要说明的一点是，正如最高点和最低点都是平的一样，作用量也不一定总是最小，它有时会取最大，照样是极值，更术语一些的说法叫做驻值)。当把真实过程作变动，怎么变动都会让这个量比真实的量大或者小的时候，我们就有了一个像样的理由说，看吧，我们不得不承认真实过程就是恰到好处的，它就该这么走(当然你可能会说这个理由背后岂不还得有理由，但我要说的是你这么一直追究下去就没意思了)。

　　于是上帝笑了：嗯，有点意思!

　　在这里就有句大道理值得讲了：物理不是完全客观的东西，它是人类为了描述和改造世界而发掘出来的，它身上不可能丝毫没有人类思维的影子，它也要随着人的想法改变形态。

　　来源：CubicL的基础力学教学科普公众号(ID：CubicLME)