基础理论知识：模态分析中若干问题的解释

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　　1. 如何理解模态分析中的“阶”，一个结构有1阶，2阶，3阶......，怎么理解?

　　在理解“阶”之前，要先理解与“阶”紧密相连的名词“自由度”。自由度是指用于确定结构空间运动位置所需要的最小、独立的坐标个数。空间上的质点有三个自由度，分别为三个方向的平动自由度;空间上的刚体有六个自由度，分别为三个平动、三个转动自由度。


　　一个连续体实际上有无穷多个自由度，有限元分析时将连续的无穷多个自由度问题离散成为离散的有限多个自由度的问题，此时，结构的自由度也就有限了。因此，可以这样理解，一个自由度对应一阶，连续体有无穷多阶。像弹簧--质量模型为单自由度系统，故对应的频率只有一阶。两自由度系统有两阶。一个具体的系统，每一阶对应着特定的频率、阻尼和模态振型。


　　延伸问题：“同一个结构为什么各阶频率、阻尼和模态振型又不相同?”这是因为虽然结构还是这个结构，但是参考各阶运动的结构上的质量和刚度都不相同，参考每阶响应的并不是结构所有的质量和刚度，而是这一阶“活跃的”有效质量(结构中的部分质量)，所以各阶所对应的模态参数不完全相同。


　　2. 如何理解无阻尼固有频率、有阻尼固有频率和固有频率?

　　通常在振动教材中都会定义无阻尼固有频率和有阻尼固有频率，无阻尼固有频率对应的是刚度/质量的平方根，有阻尼固有频率为无阻尼的固有频率乘以(1-阻尼比平方)的平方根。书本上这么定义完全是出于方便书写公式的目的，当然了也对应的一定的物理意义。


　　一般说来，无阻尼结构的频率便是无阻尼的固有频率，但现实中所说的固有频率，在没有特殊说明的情况下都是指有阻尼固有频率，因为现实中的结构都是有阻尼的。人们通常说的固有频率都是指有阻尼固有频率。


　　另外，在有限元计算中，如果是实模态分析(不考虑阻尼)，那么此时的求解出来的频率就是无阻尼的固有频率，如果是复模态分析(考虑非比例阻尼)得出来的固有频率是有阻尼固有频率。现实中的结构，除了含有阻尼机制的结构外，一般阻尼比都小于10%，因此，阻尼对结构的固有频率的影响是非常小的。


　　3. 复模态和实模态什么区别?

　　对于无阻尼的情况，由特征值求解产生的频率和留数为纯虚数，模态振型值为带符号(+或-)的实数值，且每阶模态振型的各个自由度之间，要么彼此完全同相位，要么彼此完全反相位。


　　对于比例阻尼，此时阻尼与系统的质量和/或者刚度成比例。由特征值求解得出的频率为复数值，留数为纯虚数，模态振型值也为带符号(+或-)的实数值。且比例阻尼特征值求解得出的模态振型与无阻尼的情况相同，这是因为阻尼与系统的质量和/或刚度成比例。这样产生的模态称为“实模态”。因此，显然相同质量矩阵和刚度矩阵下，无阻尼和比例阻尼情况得出的模态振型完全相同。


　　考虑第三种情况，此时阻尼不与系统的质量和/或者刚度成比例，即非比例阻尼。此时得出的频率、留数和振型全为复数值。对于这种情况，模态振型不同于前面的两种情况。首先，模态振型是复数值。并且每阶模态的各个自由度之间的相对相位关系已不再是完全同相位或反相位了。这种情况下产生的模态称为“复模态”。这跟前面两种情况大不相同。系统阻尼与系统的质量和/或刚度不相关时，得出的模态就为复模态，此时的阻尼称为非比例阻尼。


　　考虑复模态时，所有的方程通常都变得更复杂，下面总结一下实模态与复模态之间一些简单结论。


　　实模态的一些特征：

　　1、通过驻波描述实模态，而这些驻波的节点位置是固定的;

　　2、所有点同一时刻通过它们的最大和最小位置处;

　　3、所有点同一时刻通过零点位置;

　　4、模态振型为带符号的实数值;

　　5、所有点同结构上任何其他点，要么完全同相位，要么完全反相位;

　　6、无阻尼得到的模态振型与比例阻尼的模态振型相同，这些振型解耠质量、阻尼和刚度矩阵。


　　复模态的一些特征：

　　1、通过行波描述复模态，节点似乎在结构上移动;

　　2、所有点不在同一时刻通过它们的最大值位置处，一些点似乎落后其它点;

　　3、所有点不在同一时刻通过零点位置;

　　4、模态振型不能用实数描述，为复数;

　　5、不同自由度之间不存在特定的相位关系，没有完全同相位或者完全180度反相关系;

　　6、由无阻尼情况得到的模态振型将不解耦阻尼矩阵。


　　为了进一步形象化这些特征，绘出了悬臂梁某阶模态所对应的复模态振型和实模态振型，如图1所示。图1a为实模态，自由度之间的相对相位关系完全同相位(如图中蓝色和红色表示的自由度)或者完全180度反相位(如图中的绿色表示的与蓝色和红色表示的自由度)。而复模态不具有这种简单的相位关系，模态振型必须通过幅值与相位或者实部与虚部两者同时描述，如图1b所示。图1是有意去形象化它们之间的相位关系。

　　如果在进行复模态分析时，发现求解出来的特征值是纯虚部，这时就得考虑是不是实际上是在进行实模态分析。


　　4. 什么是模态分析?

　　详见声振之家公众号之前发布的模态空间系列文章：什么是模态空间?Peter Avitabile的解释估计人人都能理解!


　　5. 时域、频域和模态空间有什么不同?

　　详见声振之家公众号之前发布的模态空间系列文章：你能解释时域、频域和模态空间之间的差别吗?


　　6. 模态分析各种名词解释。

　　模态质量、模态刚度、模态阻尼这三个量没有绝对意义，只有相对意义，是将物理量通过坐标变换到模态空间后的三个量。通常对振型缩放时，用得最多的是质量归一，而此时的质量归一说的就是将所有的模态质量都定为1，其他的量与这个量相比较。


　　有效质量、等效刚度：这两个名词只解释其中一个：有效质量，另一个可以类似的理解。结构的总质量是一定的，但是并不是的结构的总质量都参与各阶模态，有效质量是指参与某阶模态的质量，也可以说是“模态上”活跃的那部分质量，可能只占结构总质量的一部分，参与每一阶的质量都不完全相同，同理，刚度也是如此，正是由于参与每阶模态的质量和刚度都不完全相同(重根除外)，才有不同的模态频率。


　　7. 各阶模态振型出现的先后顺序是否有规律?

　　详见声振之家公众号之前发布的模态空间系列文章：平板的模态振型是否有什么预定的顺序吗?


　　8. 为什么对自由梁进行刚度修改，模态频率反而降低了?

　　如果增加任何系统的刚度，人人首先想到的是模态频率肯定增大，这是因为刚度增大了，频率会提高，但当你对结构增加刚度时，频率反而降低是没有道理的。因此，让我们分析一根两端自由的简单梁系统。两端自由的梁前三阶模态分别为164Hz、452Hz和888Hz。将自由梁约束住(变成简支梁)，对其进行分析，前三阶模态分别为72Hz、288Hz和647Hz。显然，模态频率没有如预期的那样移动。因此，到底这是怎么回事呢?


　　通常，人们关心的是系统的弹性模态，因为这些模态是所有振动和噪声问题发生的普遍原因。但是，描述整个系统的不仅仅是这些弹性模态。基本问题是每个人都忽略了自由边界的系统不仅具有弹性模态，还具有刚体模态。很多时候，测试过程中人们不测量刚体模态，刚体模态不作为弹性模态测试的一部分。因而，从分析角度出发，很多时候进行的特征值求解，要么只求解变动的特征值问题，要么只获得弹性模态。


　　虽然刚体模态存在，但是很多时候人们忽略了它们，这主要是因为他们不是振动和噪声问题产生的根源。因此，一旦我们意识到这个梁系统的第一阶模态频率从分析模态上得到的是0Hz或者从实测得到第一阶模态频率非常小，那么直觉告诉我们增加刚度，使得模态频率向上移动更合理些。


　　对于平面自由梁的前三阶频率为164Hz、452Hz和888Hz，其实在这之前还有两阶频率为0的刚体模态，一阶为平动，一阶为转动。而简支梁的前三阶频率为72Hz、288Hz和647Hz。其中，72Hz和288Hz是由自由梁的前两阶0频往上移动得到的(因为刚度增加了)，简支梁的第三阶频率647Hz是由自由梁的第一阶弹性频率164Hz得到的。


　　所以，基本事实就是不能忽略刚体模态，它们是完全描述梁系统的一部分。


　　本文根据百度文库《模态分析若干问题解释》一文编辑而成，略有修改!