谈应变与几何方程

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　　物体变形是日常生活中最为常见的现象，有时候物体的变形还会异常复杂。以揉面团为例，我们可以把它揉圆，拉长，再压扁，可以被做成各种各样的造型。

　　图1 山西面塑(百度图片搜索)

　　源于先秦成型于汉，原本是食用的馒头，只是做一些动物、植物造型，也称面花，近年来逐渐发展成一种时尚艺术。

　　如果要用数学来描述这样的物体变形，这似乎是不可能的。然而，力学家让这种这看上去的不可能变成了可能。在力学家看来，任何再复杂的变形都可以分解为两类：

　　  · 一类是线段的伸长和缩短，对应于物体的膨胀和收缩;

　　  · 一类是线段之间夹角的改变，对应于物体发生的畸变。

　　这两类变形在力学上分别对应于线应变和角应变(也称剪应变/切应变)，线应变定义为物体上任意微小线段(简称微段)在变形前后的长度改变量除以原长，角应变定义为任意两条相交线组成的角度在变形前后的改变量;并且规定线应变以微段伸长为正，角应变以角度减小为正。

　　从数学角度来讲，求出物体上每一点变形前后的位移，也就唯一确定了物体的变形，而描述物体上点的位移必须建立坐标系作为位置参考，在一定的坐标下求解物体上任意点的位移是确定物体变形结果的重要途径。由于变形会引起物体上点的位移，同样物体上点的不同位移也必然会引起物体变形，因此，位移和前面提到的线应变、角应变应该具有一定的关系，这种关系被称为几何关系。

　　假设在图2所示的物体上，任取一点P，当物体发生变形时自然会引起P点的位移，该位移在三个坐标轴的分量分别为u、v、w。同时由于物体变形，物体上各点的位移必然不相同(如果都相同就成为刚体位移了，物体将不发生变形)，因此，u、v、w 都是坐标的函数，即u (x,y,z)、v (x,y,z)、w (x,y,z)。

　　图2

　　下面，我们将重点来看应变(包括线应变和角应变)与位移之间的关系。

　　依据定义，线应变是指微小线段的长度改变，由于点在数学上只占据位置而没有大小，仅依靠一点没有办法定义线应变。为了解决这个问题，力学家虚晃一招，先以P点为基础分别沿着x、y、z三个方向分别作出三个长度为dx、dy 、dz微段PA、PB、PC，如图2(b)所示，然后再定义这三个微段的长度无限趋近于0。

　　这样一来，观察微段在变形前后的改变量就可以定义线应变，而微段长度无限趋近于0又确保了研究的是一点的应变。在这里，点和应变定义的矛盾就在一种动态趋近的过程中得到了协调。这和一点的应力实际是通过微面上(微面也趋近于0)的力来定义是一样的。当做出微段PA、PB、PC后，三个微段两两相交，通过研究它们夹角的改变，P点的角应变也可以描述。

　　现在引进一组记号：

　　  · εx：x方向的线应变;


　　  · εy：y方向的线应变;


　　  · εz：z方向的线应变;


　　  · γxy：PA和PB两微段夹角改变量;，xoy平面上的角应变;


　　  · γxz：PA和PC两微段夹角改变量，xoz平面上的角应变;


　　  · γyz：PB和PC两微段夹角该变量，xoz平面上的角应变。

　　这里的6个量，可以分成两类，前3个为线应变，后3个为角应变，在学习中只需要每一类弄懂一个，然后在空间条件下在不同方向或平面上进行了重复，就可以得到其余的应变分量。

　　为了推导上的简便，我们先来做一些简化，把由PA、PB、PC组成的微元进行三视图的投影，如图3所示。各分视图中的应变分量如下：

　　  · 俯视图：εx、εy、γxy;


　　  · 左视图：εy、εz、γzy;


　　  · 正视图：εx、εz、γzx。

　　图3

　　现在以图3(b)中xoy平面上的PA 和PB 微段为代表来写应变与位移之间的关系，其它两图可以做类似推导得到(从图3中可以看出，三个分视图仅仅只是标记的符号不一样，几何特性完全一样)。

　　先来复习线应变的定义，微段变形前后的改变量除以微段的长度。现在考虑PA是一根可以伸长、缩短的弹簧，如果P 点和A 点各拴一只小狗，两个小狗同时向前跑，如果两只狗位移相等，弹簧不伸长也不缩短，如果两只狗位移不相同，弹簧就会发生伸长或者缩短，并且伸长/缩短量等于两只狗位移的差。现在我们花点力气写一下各点的位移。

　　图4

　　如果只考虑分视图中的平面情况，位移只需要用两个量u、v，即在x方向和y方向的位移就可以描述，并且位移都是坐标的函数，记为：

　　  · P点的位移：u(x,y)，v(x,y);


　　  · A点为位移：u(x+dx,y)，v(x+dx,y);


　　  · B点的位移：u(x,y+dy)，v(x,y+dy)。


　　现在我们插入一点高数中学过的泰勒级数，假设一元函数f(x)，已知其再x0点的值为f(x0)，则f(x)在x0的泰勒级数展开，

　　假设二元函数f(x,y)，已知其在(x0,y0)的值，在该点展开为

　　在弹性力学基本假设中，第一条基本假设为连续性基本假设，这个假设的最大亮点就是可以用数学中的连续函数来描述力学的规律。我们把位移函数u(x,y)，v(x,y)看作是关于x,y的二元函数，就可以利用泰勒级数写出各点位移在P点的展开式。到现在为止，写几何方程的一切条件都具备了，开始干活!

　　第一步，写εx 与位移之间的关系

　　依据定义，求εx 必须先写出PA 微段的长度改变，可以用A点在x方向的位移分量u(x+dx,y)减去P点在x方向的位移u(x,y)分量获得。依据上式，A点在x方向的位移用泰勒级数展开表示为

　　再考虑弹性力学中的小变形基本假设，dx,əu(x,y)/əx和əu(x,y)/əy都是微量，这样就可以只保留一阶求导，而将高阶求导忽略，B点在x方向的位移近似为

　　B点的位移减去P点的位移，即得PB微段变形前后长度的改变为

　　简写后，即

　　将x方向的线应变计为εx，利用线应变的定义，微段改变量除以原长dx，则得

　　第二步，写εy与位移之间的关系

　　考虑微段PB的伸长量，先写出B点在y方向的位移分量v(x,y+dx)在P点的泰勒级数，有

　　与第一步中类似的，只取一阶倒数，先利用B点在y方向位移分量减去P点在y方向位移分量得到PB的改变量，再按照线应变的定义求得εy，得

　　第三步，写γxy与位移之间的关系

　　当物体发生变形时，PA和PB微段的夹角也会发生变化，即角应变。根据角应变的定义，有

　　α和β如图5所示。

　　图5

　　现在我们重点来看α和β 怎么求?

　　这里必须强调一下，弹性力学的小变形基本假设。当物体处于小变形状态下，α和β 就是微量，即有如下近似关系

　　为了求解上述两个正切值，我们作出如图中所示两个辅助线A'A''和B'B''，很明显A'A''应该等于A点和P点在水平方向上的位移差，B'B''应该是B点和P点在竖直方向上的位移差，这样写出上述两角度的求解公式为：

　　综合上面的结果，得到角应变为

　　第四步，结果整理

　　整理一下，得到图3(b)中微段PA和PB在变形过程中的应变分量为：

　　用同样的方法求图3(c)中微段PA和PC在变形过程中的应变分量为：

　　用同样的方法求图3(d)中微段P和PC在变形过程中的应变分量为：

　　划去相同的方程，得到6个偏微分方程组成弹性力学的几何方程

　　如果空间想象能力较强，可以直接采用由PA、PB、PC组成的微元，并用三元函数来写，即

　　  · P点的位移：u(x,y,z)，v(x,y,z)，w(x,y,z)
　　  · A点的位移：u(x+dx,y,z)，v(x+dx,y,z)，w(x+dx,y,z)
　　  · B点的位移：u(x,y+dy,z)，v(x,y+dy,z)，w(x,y+dy,z)
　　  · C点的位移：u(x,y,z+dz)，v(x,y,z+dz)，w(x,y,z+dz)


　　利用三元函数的泰勒级数展开写A、B、C相对于P的位移

　　然后，利用前面的定义写6个应变分量，可以得到完全一致的结果。在实际应用中，人们可以通过传感器测出物体应变分量，然后再利用几何方程得到各点的位移分量，再考虑边界条件，物体的变形形状就可以唯一确定下来。

　　结 语

　　大家注意到，泰勒级数在求解几何方程时起到了重要作用，这主要归因于连续性基本假设。此外，小变形基本假设使得在泰勒级数展开式中可以忽略二阶求导以上的项，这里必须强调小变形假设。最开始提到的揉面团属于大变形(揉面团不是弹性变形，是塑形变形)，忽略高阶项的影响就会产生较大的误差。在力学中，保留下高阶求导项的问题就变成了几何非线性问题。

　　对上述过程，绘制一个流程图大致如下：

　　图6

　　这里，我们清晰的看到连续性基本假设和小变形基本假设在弹性力学中的重要性。

　　在弹性力学的学习中，数学公式较多，但是力学中的数学与高数中的数学有本质的不同。力学中的数学是有生命的数学，它将真实世界数学化(我有时都觉得力学才是真正的毕达哥拉斯学派，数学只有形而没有实)，学习时只要牢牢记住每个符号所代表的力学概念，每一个力学公式都是在给你讲述一个故事。

　　例如泰勒级数展开式，自变量一个小小的增量就导致了函数值另有乾坤，就像一个顽皮的小孩在向你显摆他比别人多出来的珍宝，延绵不断，最后看着看着，它还不让你看了(公式中的省略号)，又像一个傲慢的家伙用不屑的语气说：“我怎么能和它(基准点)一样呢?”看到几何方程中的线应变，它在向你报告“注意注意，两端的点走的步伐不一致了啊!”看到角应变，它也在向你报告“哎呀!我都被挤变形了!”

　　来源：力学酒吧公众号(ID：Mechanics-Bar)，作者：张伟伟 太原科技大学。