频谱分辨率与频谱细化

weixin

　　频谱分析作为信号处理中最常见的方法，一直深受人们的喜爱。时域被噪声覆盖而显得杂乱无章的信号，往往在频域中能有效识别信号的特征信息。传统的频谱分析技术一般采用快速傅里叶变换 (FFT)，得到粗略的“全景频谱”，频谱中的每一根谱线代表着信号所具有的频率成分的大小。在实际应用中，往往需要对感兴趣的窄带频谱区间进行细微观察和分析，得到更为密集的频谱。频谱的稀疏与稠密与频率分辨率有着直接的联系，如何提高频率分辨率就成为了关键因素。

　　频率分辨率的解释

　　信号采样频率为fs，采样点数为N，采样间隔为Ts=1/fs，则频率分辨率可以解释为

　　式中，T 为信号采样时间，信号长度为L。采样时间与采样长度成正比。由公式可以看出，信号长度越长，频率分辨率就越好。增加信号的数据长度可通过在相同采样频率fs 下增加采样点数N ，或在相同采样点数N 下降低采样频率fs 来实现。

　　简单的理解为，采样前的信号有效数据长度增加了，采样得到的序列有效信息也随之增加了，反映到频谱上的有效信息增加，频谱更为密集，频率分辨率提高。

　　为了解决对窄带频谱区间进行细致观测的问题，人们提出了频谱细化的概念，其基本思路是对信号频谱中的某一频段进行局部放大，实现选带分析。频谱细化技术近年来发展迅速，常见算法有：ZOOM-FFT(以下简称ZFFT)算法、FFT-FS算法和线性调频Z变换(Chirp-Z变换，以下简称CZT)算法。FFT-FS算法与CZT算法本质上是同类方法，下面仅对ZOOM-FFT算法和FFT-FS算法进行介绍。

　　设采样序列为 x(n)，n=0,1,…,N-1，采样频率为fs ，进行细化的频带为f1～f2，采样点数为N。因此，信号初始的频率分辨率为

　　选带的中心频率为

　　细化带宽为

　　ZFFT频谱细化原理

　　ZFFT细化原理可由下述流程图解释，将初始信号与单位复指数信号exp(-2πnfc/fs)相乘进行复调制，将实序列变为复序列，利用傅里叶变换的移频性质把选频段的中心频率移至零频，再通过低通抗混叠滤波和整数倍抽取，最后对抽取后的信号做FFT变换和频率调整，便可以得到选频段的“细化频谱”，如图1所示。

　　图1 ZFFT频谱细化原理图

　　FFT-FS频谱细化原理

　　序列x(n) 在进行傅里叶变换时，系数为：k=0,1,…,N/2。

　　将上式离散情况下傅里叶变换频谱用连续傅里叶变换代替，将频谱看作是连续的，则上式中的整数k (0≤k≤N/2) 可用在0～fs/2连续变化的f 来代替：

　　利用上式即可不受初始频率分辨率的限制，在0～fs/2内得到“任意分辨率”的谱线。

　　为什么说ZFFT和FFT-FS并没有真正实现频谱的细化?

　　ZFFT频谱细化算法通过滤波重采样使采样频率fs 降低D倍，因而频率分辨率变为fs /DN，进而提高频率分辨能力，但该过程隐含的条件是对原始数据长度增加D倍后进行的重采样，实际数据长度为DL，信号最初的分辨率也为fs /DN。因此，ZFFT并不能提高信号的分辨率，它只是在假定信号长度为L 不变的错误前提下，通过一系列数学变换，使得选频带内频率分辨率貌似从fs /N 提高到了fs /DN，得到了提高频率分辨能力的假象，而信号的真实频率分辨率在整个过程中并没有改变，通过ZFFT得到的改善频率分辨率的结果，并不是通过ZFFT算法实现的，根本原因在于信号数据长度的增加。

　　FFT-FS在不增加信号数据长度的情况下，错误采用连续傅里叶变换代替离散傅里叶变换对采样序列x(n) 进行处理，混淆了概念。这种做法本质上是通过在感兴趣频带上进行插值，等同于在时域进行补零操作，并没有增加信号序列实际有效的信息。这种简单的使频谱谱线更加密集的行为，并不能使真实信号的频率分辨率增加。

　　综上分析，信号频率分辨率的真正提高，只能通过增加采样序列的长度来实现。

　　采用合适的频率分辨率的意义

　　下面用例子来说明这个问题，信号由两个正弦信号叠加产生，f1=51Hz，f2=100.1Hz。

　　1. 以fs=500Hz，N=500 对信号进行采样，频率分辨率f0=1。信号时域图如图2所示，信号频谱图如图3所示。

　　图2 信号时域图

　　图3 信号频谱图

　　可以看出频谱图上很好的识别了的频率成分f1=51Hz，而f2=100.1Hz却未能识别，却在100Hz处出现了一个尖峰，造成了频谱上的能量转移。这是因为信号频率分辨率的不恰当选取造成的。

　　2. 以fs=500Hz，N=5000对信号进行采样，频率分辨率f0=0.1。

　　图4 信号时域图

　　图5 信号频谱图

　　此时频谱图上很好的识别了信号的两个频率成分，未发生能量的转移。由此可见，合理的频率分辨率的选择对信号频谱分析有着重要作用。

　　参考文献：
　　赵宏强. 频谱细化算法分析，兵器装备工程学报，2013，34(5)：105-109.

马社

么看懂，教授

dsp2008

这个赵宏强错误地理解了“频谱细化”这个概念。频谱分辨率和频谱细化本来就不相干！