说说真应力真应变

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　　应力、应变是固体力学中的一对重要概念，它们在力学中的地位就像一部小说中的男女主人公，固体力学整部剧目就以它们的经历为线索展开各种各样的情节。在《材料力学》中，应力和应变分别定义为：单位面积上的内力和单位长度的改变量(应变仅以线应变为例)，以衡量构件所能承受的内力及其发生变形的能力，用公式表示分别为

　　有的同学看到应力这样定义后，经常会产生一个疑问：应力和压强是不是一回事?首先说应力和压强的单位是相同的，都是牛顿/平方米 (N/m2);但它们所反映的力学概念却是不一样的，压强是外力在某物体表面的平均分布，应力是内力在物体假想截面上的平均分布。

　　例如大气压强指大气层的自身重力作用于物体表面的压力，大气相对于物体就是外界，所以大气压力是外力;而应力，是先在物体内部假想了一个截面将物体截开为两个部分，应力是这两个部分在假想截面上的相互作用力的平均分布，由于这两个部分同属于同一个物体，所以是内力。其次，压强总是垂直于物体表面的，而应力则不一定垂直于截面，将截面上两部分之间的应力沿垂直于截面和平行于截面分解，垂直于截面的分量被称为正应力，而平行于截面的被称为切应力。

　　应力、应变在表征材料强度和变形能力中具有很强的实用性。

　　假设有A和B两种材料，用材料A做成直径20mm的圆棒试样，材料B做成直径为10mm的圆棒试样，材料A在50kN的拉力下被拉断，材料B在45kN 拉力下被拉断，但我们并不能说材料A的承载能力就比材料B的承载能力高，但是求其最大应力可得

　　可见，材料B比材料A有更高的承载能力(3倍还多)，只是因为试样B截面积较小才在较小的拉力下断裂，因此用“单位面积上的内力”就消除了试样截面尺寸的影响，得到材料的本身属性。变形方面也是这样，还是材料A和B，假设其截面相同(直径10mm)，但试样长度不同，材料A长为200mm，材料B长为250mm，假设在45kN下两种材料的伸长量都是0.2mm，同样我们也不能就说材料B具有和材料A相同的变形。按照应变的定义，有

　　在相同的伸长量下，只是由于材料A试样短才与材料B具有了相同的变形量，实际上材料A的变形要大一些。结合前一问，在此条件下材料B已经发生断裂，因此材料A的变形能力要高于材料B。可见，应变通过“单位长度的变形量”消除了比较材料变形能力时的试样长度影响。

　　万能试验机(来源于网络)

　　材料强度和变形的测定一般用万能试验机来测定(如上图)，将标准试样安装在上下两个夹具之间，通过力传感器和位移传感器，测出在拉伸试件过程中力的变化和试样长度的伸长量，并将其画在“力-伸长量”的坐标系内，将其分别除以截面面积和试件长度可得到“应力-应变曲线”。下图所示为低碳钢拉伸曲线，由于它具有弹性变形、屈服流动、强化、颈缩四个典型的材料变形特征，因此常被用来说明材料的变形过程。

　　低碳钢拉伸曲线(来源于网络)

　　需要强调的是，按照前面应力、应变的定义，将拉力除以试样面积，将伸长量除以试样长度，所得到的应力、应变，实际上有很大的问题，主要集中在颈缩阶段。这个阶段，试样面积急剧减小，但是应力求解还是利用拉力除以原始截面面积，这就产生了错误!同样，试样在拉伸过程中，长度不断增加，但求解应变还是用伸长量除以原始长度，这也是不对的。因此，这样求出来的应力应变并不是真实的应力、应变，只能算是名义上的应力、应变，因此称之为名义应力和名义应变，大概是工程使用上比较方便，也称为工程应力和工程应变。

　　而真实的应力、应变称为真应力和真应变，需要以瞬时的截面面积和瞬时的试样长度为标准去定义。假设试样原始长度为l0，变形终了为lf，变形过程中任意瞬时为li，同样的下标也用来标识变形过程面积A，另P 表示瞬时的载荷，任意瞬时真应力S 定义为

　　假设材料体积不变，即有Al0=Aili，上式可推导出

　　对于真应变，设试样在加载过程中的变形的微增量为dl，则微变形过程中真应变为dε=dl/l(注：l 为变量)，假设杆件从l0 变形到lf，则总变形量为

　　如果用真应力、真应变表示低碳钢的拉伸曲线，在颈缩阶段，真应力也是上升的，如下图所示。

　　真应力和名义应力示意图

　　从上两式可以看出，虽然名义应力和名义应变不是真应力和真应变，但它们却可以用来表达真应力和真应变。真应力是名义应力的 (1+ε) 倍，真应变是 (1+ε) 的自然对数。真应力说明颈缩阶段，加载材料上的应力其实并没有减少;真应变可以合理的解释分次加载时应变的可叠加性。

　　例如，有一试样两次拉伸，原长为l0，第一次拉伸后长l1，退火后继续拉伸(退火保证两次材料性能一致)至l2，第一次拉伸的应变为

　　第二次拉伸的应变为

　　如果一次拉伸试样至l2，求解应变为

　　显然

　　但如果考虑真应变，就可以保证两次加载后的真应变可以叠加，如第一拉伸后的真应变为

　　第二次拉伸后的真应变为

　　如果第一次拉伸如试样至l2，真应变为

　　叠加两个真应变，得

　　可见，真应变满足多次加载时应变的叠加性。

　　令人遗憾的是，真应力、真应变在《材料力学》中并不做介绍，这部分知识多在《材料的力学性能》中讲解，而《材料的力学性能》大多是机械和材料专业所学的专业课程，力学专业并不开设《材料的力学性能》(主要是我校情况，其他学校没有调研)，力学专业以研究“应力、应变”著称，竟然不学真应力和真应变?

　　还好在《弹性力学》中对应力和应变进行了重新定义，将应力定义为内力在微截面上的极限

　　将线应变定义为变形量在某一微段上的极限，但是通常不写成极限的形式，而写成微分的形式，以x 方向的伸长为例，如下

　　由于

　　式中，Δu 表示伸长量，Δx 表示微段，线应变就是伸长量除以微段在微段取极限时的结果。弹性力学以“微元体”为研究对象，达到了三种境界：

　　 1、解决了物体内应力不均匀的表述问题，微元体相当于“点”，这里的应力、应变只定义在某点处，而不是平均应力;

　　 2、消除了结构的具体形状的影响，如材料力学研究细长结构，而微元体可以组成一切形状的结构，也就是说弹性力学可以解决一切形状的问题;

　　 3、消除了不同材料之间的差异，不同材料在弹性力学中只有参数的不同，而无本质上的不同，弹性力学可以在弹性范围内解决所有材料的变形问题。

　　弹性力学中得到应力、应变更加纯正，理论上更加完美!不过，如果要在工程中测量真应力、真应变，《材料力学》和《弹性力学》都没有提供方法，只能使用《材料的力学性能》所提供的公式进行测试。一门学科能在社会生产、实践中得到实用，将会得到更为广泛的认可，这就是这门学科结出的果实。真应力、真应变的概念让人产生这样一种印象：力学传承了应力、应变的概念，提供了应力、应变的分析和计算方法，却不能为工程提供简便、可行的测定真应力、真应变方法，这或许是工程界很多人对力学学科和力学专业感到陌生的原因之一。这就好比力学只专注于享受“渔”的过程，而对“鱼”本身却无动于衷。

　　力学要积极的与工程接轨，服务于工程，让力学结出工程应用的果实。

　　参考文献：
　　刘鸿文《材料力学》
　　北京科技大学，东北大学《工程力学》
　　徐芝纶《弹性力学》
　　王磊《材料的力学性能》

　　来源：力学酒吧微信公众号(ID：Mechanics-Bar)，作者：张伟伟 太原科技大学。