理想流体介质中的声波方程

Emmanuel

【基本概念】一、介质（媒质、介体）一种物质存在于另一种物质内部时，后者是前者的介质。波动能量的传递，需要某种物质基本粒子的准弹性碰撞来实现。这种物质的成分、形状、密度、运动状态，决定了波动能量的传递方向和速度，这种对波的传播起决定作用的物质，称为这种波的介质。二、声波动方程根据声波传播过程中的物理性质，建立声压P随时空变化的联系的数学表示的方程叫声波动方程。比如常见的波动方程[波动方程或称波方程（wave equations） 由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程应用在声学，电磁学，和流体力学等领域。] 一维波动方程 二维波动方程 三维波动方程 三、理想流体不可压缩、不计粘性（粘度为零）的流体。 【理想流体介质的三个基本方程】在《声学基础》（杜功焕、朱哲民、龚秀芬著）里的前提假设的4个条件：（1）介质为理想流体。（2）没有声扰动时，介质时静止的，即初速度V0=0,同时介质时均匀的，即静态压强P0和静态密度ρ0是常数。（3）声波传播的过程是绝热的。（4）介质传播的都是小振幅声波，各个声学变量都是一级微量。即声压P≪ 静态压强P0，质点速度V≪声速C0，介质密度ρ≪ ρ0。一维(实际是指的是一条线）声场在空间左－右两个方向上是均匀的，暂时只考虑一个方向X方向上的运动。我对照原文作草图如下： 3.1运动方程（推导声压P与质点运动速度u的关系）在声场中取一足够小的体积元如上图所示：其体积V=Sdx（S为体积元的垂直于x轴的侧面面积），由于声压P随位置X的变化而变化，因此作用在体积元左右侧面的力F1和F2是不同的。两者的合力才导致这个体积元里的质点沿着X方向运动。声波传播过程中，体积元左侧的压强为P0+P，即作用此侧面上的力F1=（P0+P）S；体积元右侧的压强为P0+P+dp，其中dp=（∂p/∂x)dx，作用在此侧面上的力F2=(P0+P+dp)S，其方向和F1相反。于是体积元上的合力F=F1-F2=-Sdp=-S（∂p/∂x)dx。另外体积元的质量M=ρV=ρSdx，则它在F作用力下沿X方向的加速度du/dt，根据牛顿第二定律F=MA得出ρSdx(du/dt)=--S（∂p/∂x)dx整理后得ρ(du/dt)=-（∂p/∂x)       （1-1）（备注：《声学基础》里的这个公式和Mendel Kleiner的《Electroacoustics》中的 相比，公式左边只是一个用了偏导数，一个是导数，在一元函数中，导数就是函数的变化率。偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。）
3.2连续性方程（推导质点运动速度u与介质密度ρ的关系）连续性方程实际上就是质量守恒定律，即介质中单位时间内流入体积元的质量与流出体积元的质量之差就等于该体积元内质量的增减。 在左侧面x处，介质质点的速度为ux，密度为ρx,则在单位时间内流过左侧面进入体积元的质量等于截面积S，高度为ux的柱体体积内包含的介质质量，即（ρu）xS；在同一单位时间内从体积元右侧流出的质量为-（ρu）x+dxS（负号表示流出），根据泰勒公式展开取近似值-[（ρu）x+【∂（ρu）x/∂x】dx]S（这个我数学烂的很还消化不了，看的有点迷糊直接就照搬过来），则我们得出体积元的净增量【∂（ρu）x/∂x】Sdx。同时，体积元的密度ρ的增量∂ρ/∂t,则单位时间内体积元质量的增加则为（∂ρ/∂t）Sdx，于是根基质量守恒定律，我们得出-【∂（ρu）/∂x】Sdx=（∂ρ/∂t）Sdx整理得出-∂（ρu）/∂x=∂ρ/∂t     （1-2）（备注：《声学基础》里的这个公式这和Mendel Kleiner的《Electroacoustics》中的 公式保持一致。）
3.3物态方程（推导声压P与介质密度ρ的关系）理想流体的绝热过程传播中，可以简单认为压强P是密度ρ的函数，即P=P（ρ），因而由声扰动引起的压强和密度的微小增量dp和dρ满足dp=[dp/dρ]sdρ，式中s代表绝热过程。考虑到压强和密度变化的同方向性，则[dp/dρ]s是恒大于零，即可设[dp/dρ]s=c2 ,于是得到理想流体的物态方程dp=c2 dρ      （1-3）c值取决于具体介质中P对于ρ的依赖关系的强弱，不一定是常数，很有可能是P或ρ的函数形式。比如在书中介绍的理想气体的绝热物态方程为PVγ=const(常量）,其中γ是绝热系数，它是定压比热和定容比热之比，即γ=Cp/Cv，对于一定质量的理想气体，由P(M/ρ）γ=const 变形则得到（P/ργ）=const（1-3*），由此联系（1-3）可得出c2=γP/ρ（数学菜鸟的苦逼的我不得不翻出求导公式来做一下,对于1-3*做个练习复习：d(（P/ργ)=[（dp/dρ）*ργ-Pd(ργ）]/(ργ)2,化简得到：[（dp/dρ）-Pγρ-1]=0,继续变形得到：（dp/dρ）=Pγ/ρ，对应上式（1-3）即可得出c2=（dp/dρ）=γP/ρ），可见c还是P和ρ的函数。（备注：《声学基础》中 的这个公式和Mendel Kleiner的《Electroacoustics》中的 相比，形式有所不同，其中K为开尔文温度，R为通用气体常数，M为气体分子量。若把二者关联一起则有c2=γP/ρ=KRT/M。）
【参考资料】1、《声学基础》（第三版）杜功焕 朱哲民 龚秀芬著2、Mendel Kleiner.Electroacoustics