非线性振动的研究对象、方法及发展简史

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非线性振动的研究对象

在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中，普遍存在着物体的往复运动或状态的循环变化，这类现象称为振荡。例如大海的波涛起伏、花的日开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象，都具有明显的振荡特性。振动是一种特殊的振荡，即平衡位置附近微小或有限的振荡。如声波和超声波、工程技术中的机器和结构物的机械振动、无线电和光学中的电磁振荡等。从最小的初等粒子到巨大的天体，从简单的摆到复杂的生物体，无处不存在振动现象。有时人们力图防止或减小振动，有时又力图制造和利用振动。尽管振动现象的形式多种多样，但有着共同的客观规律和统一的数学表达形式。因此有可能建立统一的理论来进行研究，即振动力学。振动力学是力学、声学、无线电电子学、自动控制理论等学科，以及机械、航空、土木、水利等工程学科的理论基础之一。它应用数学分析、实验量测和数值计算等方法，探讨振动现象的机理和基本规律，为解决与振动有关的实际问题提供理论依据。

根据描述振动的数学模型的不同，振动理论区分为线性振动理论和非线性振动理论。线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，其数学描述为线性常系数常微分方程；不能简化为线性系统的系统为非线性系统，研究非线性系统的振动理论就是非线性振动理论。线性振动理论是对振动现象的近似描述，在振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可以足够准确地反映振动的客观规律。频率、振幅、相位、激励、响应、模态等，都是在线性理论中建立起来的基本概念。

实际机械系统中广泛存在着各种非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等作用力非线性，法向加速度、哥氏加速度等运动学非线性，非线性本构关系等材料非线性，弹性大变形等几何非线性等。因此，工程实际中的振动系统绝大多数都是非线性系统。由于非线性微分方程尚无普遍有效的精确求解方法，而线性常微分方程的数学理论已十分完善，因此将非线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法，但仅限于一定的范围。当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振动、多频响应、超谐和亚谐振动、内共振、跳跃现象和同步现象等实际现象作出解释。上述各种实际现象在现代工程技术中愈来愈频繁地出现，早在1940年美国塔可马 (Tacoma) 吊桥因风载引起振动而坍塌的事故就是典型的非线性振动引起破坏的例子。因此有必要发展非线性振动理论，研究对非线性系统的分析和计算方法，解释各种非线性现象的物理本质，以分析和解决工程技术中实际的非线性振动问题。

参数振动是一种特殊的振动形式，它的数学模型不一定是非线性微分方程，也可能是线性的，但系数不是常数，而是时间的周期函数，因此不属于线性振动理论的研究范围，也作为非线性振动的组成部分。

非线性振动的研究方法

非线性振动理论研究的目的是基于非线性振动系统的数学模型，在不同参数和初始条件下，确定系统运动的定性特征和定量规律。非线性振动的数学模型通常是非线性微分方程。与线性微分方程不同，非线性微分方程尚无普遍有效的求解方法。因此与线性振动系统相比，非线性振动系统很难得到精确的解析解。对于工程中的实际非线性振动问题，除采用实验方法进行研究以外，常用的理论研究方法可区分为：几何方法、数值方法和解析方法。

几何方法是对非线性振动作定性分析的方法。经典的几何方法是利用相平面内的相轨迹作为对运动过程的直观描述，在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。因此，关于奇点类型的研究和关于极限环存在性的判断，以及关于奇点和极限环的稳定性及其稳定性随参数变化的讨论，是传统几何方法研究的主要内容。非线性振动的现代发展要求几何方法研究新的对象，现代几何方法还包括数学抽象得到几何结构的研究。此时不直接研究真正的非线性振动问题，而是研究人为构建的数学结构，它具有某些类似于真实非线性系统的性质，但在结构上比较简单。具体的非线性振动的一些性质往往很难发现，除非已经知道发现这种性质的可能性。数学抽象正可以揭示这种可能性，几何方法的局限是不能得到非线性振动的定量规律，而且传统的几何方法通常难以推广到高维时变系统。尽管如此，几何方法仍在非线性振动研究中起重要作用。几何方法不仅能得到直观的定性结果，而且可为其它研究方法提供理论依据。

解析方法是对非线性振动作定量分析的方法。该方法是通过精确或近似地解析求解非线性微分方程得到非线性系统的运动规律，及其对系统参数和初始条件的依赖关系。非线性微分方程的精确解析解通常涉及非初等函数（如椭圆函数）的引入和研究，能够得到精确解的非线性系统，即可积系统极为有限。更常用的解析方法是近似解析方法，近似解析方法主要适用于弱非线性系统，即与线性系统十分接近的非线性系统，该方法通常以线性振动理论中得到的精确解为基础，将非线性因素作为一种摄动求出近似的解析解。最早的近似解析方法来源于天体力学中的摄动法，也称为小参数法，如正规摄动法和改进的林滋泰德－庞加莱法。近似解析方法还包括其它形式，如谐波平衡法、平均法、KBM方法和多尺度法等。这些近似解析方法原则上也可应用于特殊的强非线性系统，如果存在与之相近而又精确可积的非线性系统，也可对精确的非线性解进行摄动。解析方法原则上对单自由度系统和多自由度同样适用，对于用非线性偏微分方程描述的无穷多自由度的连续体振动，可利用模态的正交性或伽辽金方法化作只含时间自变量的非线性常微分方程组，然后利用近似解析方法进行处理。也可以直接对非线性偏微分方程进行摄动分析。任何一种近似解析方法所得到的结果都是近似的结果，必须与其它方法互相印证。解析方法的主要局限是应用范围有限，仅适用于研究可积和接近可积的系统的平衡和周期性运动；同时，解析方法得到的解未必具有稳定性，因此可能不是实际问题中能出现的运动。由于解析方法不仅能确定非线性系统运动随时间变化的规律，而且还能得到运动特性对系统参数的依赖关系，所以是非线性振动问题研究的重要方法。

数值方法是对非线性振动作定量计算的方法。数值方法是通过数值求解非线性微分方程得到非线性系统在特定的参数条件和初始条件的运动规律，基础是常微分方程组的初值问题的数值解法。数值方法既可以计算特定非线性系统的各种运动，包括平衡、周期运动和非周期运动的时间历程，也可以数值确定参数对系统运动的影响，还可以通过数值确定吸引盆及其边界分析初始条件对系统运动的影响。由于处理非线性振动问题的数学工具尚不完备，数值方法起着非常重要甚至是不可替代的作用。数值方法在非线性振动中的突出作用是发现新现象，这已成为过去20余年非线性振动发展的突出特点。数值方法还可以补充理论结果，使一些理论结果定量化或揭示有关条件不成立时发生的情况。数值方法还可以借助具体直观的结果为一般理论研究提供启示，激发灵感。数值方法还有检验理论结果的作用，在非线性振动问题研究中，数值方法的结果往往可以是理论分析的最终检验。需要指出的是，数值研究只能在有限精度下进行。即使不考虑建立模型本身的误差，数值方法在应用过程中也不可避免的存在截断误差和舍入误差。数值运算如积分求解非线性微分方程等极限过程都是强制性取有限项近似的，因而存在截断误差。在计算机中无限多位的实数是通过有限位的截尾数来近似的，因而存在舍入误差。计算结果受到截断误差和舍入误差的影响称为计算机噪声，在实际数值研究中，计算机噪声对运动的影响通常可以通过改变计算精度、积分步长和计算方法加以考察。尽管数值方法是探索非线性振动的强有力工具，但数值计算的结果必须仔细检验和诠释，用直观和理论加以印证，并且仅仅应用于它所适用的场合和目的。

非线性振动的发展简史

人类对振动现象的了解和利用有着漫长的历史，远古时期的先民已有利用振动发声的各种乐器。在我国，早在战国时期成书的《庄子》就已明确记载了共振现象。现代物理科学的奠基人伽里略 (Galileo Galilei，1564-1642) 对振动问题进行了开创性的研究，他发现了单摆的等时性，并利用他的自由落体公式计算单摆周期。在十七世纪，惠更斯 (C. Huygens，1629-1695) 注意到单摆大幅摆动对等时性的偏离以及两只频率接近时钟的同步现象，是对非线性振动现象的最早记载。

严格的非线性振动的理论研究开始于十九世纪后期，由庞卡莱 (H. Poincare，1854-1912) 奠定了理论基础。他开辟了振动问题研究的一个全新方向，即定性理论。在1881年至1886年的一系列论文中，庞卡莱讨论了二阶系统奇点的分类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在判据，定义了奇点和极限环的指数；此外，还研究了分岔问题。定性理论的一个特殊而重要的方面是稳定性理论，最早的结果是1788年拉格朗日建立的保守系统平衡位置稳定性判据。1892年李雅普诺夫 (А.М.Ляпунов，1857-1918) 给出了稳定性的严格定义，并提出了研究稳定性问题的直接方法。

在非线性振动的近似解析方法方面，1830年泊桑 (S -D. Poisson，1781-1840) 研究单摆振动时提出摄动法的基本思想。1883年林滋泰德 (A. Lindstedt) 解决了摄动法的久期项问题。1892年庞卡莱建立了摄动法的数学基础。1918年达芬 (G. Duffing，1861-1944) 在研究硬弹簧受迫振动时采用了谐波平衡和逐次迭代的方法。1920年范德波尔 (B. van der Pol，1889-1959) 研究电子管非线性振荡时提出了慢变系数法的基本思想，1934年克雷洛夫 (Н.М.Крылов) 和包戈留包夫 (Н.Н.Боголюбов) 将其发展为适用于一般弱非线性系统的平均法；1947年他们又提出一种可求任意阶近似解的渐近法，1955年米特罗波尔斯基 (Ю.А.Митропольский) 将这种方法推广到非定常系统最终形成КВМ法。1957年斯特罗克 (P. A. Sturrock) 在研究电等离子体非线性效应时，用两个不同尺度描述系统的解而提出多尺度法。

非线性振动的研究使人们对振动的机制有新的认识。认识到除自由振动和受迫振动以外，还广泛存在另一类振动，即自激振动。1926年范德波研究了三极电子管回路的自激振动；1932年邓哈托 (J. P. Den Hartog) 利用自激振动分析输电线的舞动。1933年贝克 (J. G. Baker) 的工作表明有能源输入时，干摩擦会导致自激振动。

非线性振动的研究还有助于人们认识一种新的运动形式：混沌振动。庞卡莱在上个世纪末已经认识到不可积系统存在复杂的运动形式，运动对初始条件具有敏感依赖性，现在称这种运动形式为混沌。1945年卡特莱特 (M. L. Cartwright) 和李特伍德 (J. E. Littlewood) 对受迫范德波振子及莱文森 (N. Levinson) 对一类更简化的模型分析表明，两个不同稳态运动可能具有任意长时间的相同暂态过程，这表明运动具有不可预测性。为解释卡特莱特和李特伍德、莱文森的结果，斯梅尔(S. Smale，1930-)提出了马蹄映射的概念。上田和林千博发表于1973年的工作表明他们在研究达芬方程时得到一种混乱、貌似随机且对起始条件极度敏感的数值解。混沌振动的发现和研究开阔了一个活跃的新领域，使非线性振动学科进入新的发展阶段。

来源：陈立群科学网博客，作者：陈立群。