非线性力学系统的线性化

weixin

谈到“非线性系统”、“线性化”这些词语，往往给人以深奥晦涩的第一印象，其实对于机械类工程专业的同学来说，由于工作的重点是对工程实际问题的解决，所以很多时候精确解于我们并没有太大的意义，因为工程问题总会受到环境和加工条件等多方面因素的影响。

基于以上前提，对于很多系统，我们都应该进行合理的简化，做近似处理，问题在于我们简化近似的方向是什么，线性化就很自然的进入我们的关注范围。线性系统因为其优越的齐次性和叠加性，导致在处理多个力同时作用于系统的情况时，只需要逐个进行分析，再对结果进行作和即可，这极大的简化了工程上力学系统的分析难度。

让我们看一个比较典型的案例：

如图，这是我们很熟悉的单摆，它的周向力度可以非常容易的描述成正弦函数：

问题在于这个函数为非线性的，如果有多个类似力同时作用，那么叠加会变的非常复杂，对于工程问题，我们所关心的系统变化范围总是有限的，这给了我们在关心区域内进行线性化的可能。

对上式进行θ=0 附近的泰勒展开可以得到：

注意到，从第三项开始就已经足够小，对于工程问题可以忽略，于是我们可以最终得到T 近似等于MgLθ 这个线性的结果，进一步研究我们会发现，θ 在30°范围内进行运动，我们的线性近似结果与实际的非线性结果误差仅在2％以内，完全可以满足工程需求。

来源：西航力学style微信公众号（ID：xihanglixue），作者：康老师。