结构有限元分析中的静力分析—— 弹性力学

用完美的表情

引言

在前面的文章中，我们没有详细讨论有限元法的基础理论和概念，在讨论结构静力学分析前，先介绍一些有限元法的基础理论概念是很有必要的。

结构静力学分析是最为常见的，也是应用最广泛的一种分析。总的来说，结构静力学分析可分为线性分析和非线性分析。非线性分析较复杂，先讨论线性分析较为合适，大多数工程问题通过线性分析已经可以得到相对比较满意的结果，而有限元法也已经成为了解决结构力学问题的主流方法。

弹性力学

在讨论有限元法之前，先看看有限元法在结构静力学分析中的分析对象是什么。
弹性力学要解决的是：固体材料组成的物体在一定约束和载荷作用下会发生形变，而物体内部物质间将处于复杂的受力状态，弹性力学就是将物体的形变和应力的关系描述出来。

弹性力学的几个假设：
  · 连续性：固体宏观看成连续体，即认为物质无间隙得充满整个固体，可导，是应用微积分的基础；
  · 均匀性：材料宏观均匀，即认为物质均匀分布在物体内部，物理性质(弹性模量、泊松比、密度、膨胀系数等)和位置坐标无关；
  · 各向同性：材料常数(弹性模量、泊松比等)与坐标方向无关，复合材料力学不满足此条假设；
  · 完全弹性：本构关系线性(材料线性)，弹性常数与应力应变的大小无关，即材料处于弹性阶段，塑性力学不满足此条假设，即材料非线性；
  · 小变形：位移远远小于结构的宏观尺寸，应变和转角远远小于1，应变可表示为位移的一阶导数，且几何参数均可用变形前的，即几何线性，不满足此条假设的就是几何非线性。

事实上，有限元分析只需要满足前两条假设即可，不满足后三条假设分别对应：各向异性材料分析(复合材料力学分析)、材料非线性分析和几何分线性分析；都满足的就是最常规的线性分析。从线性分析开始讨论相对简单的问题，有助于我们理解有限元分析中最基础的力学理论概念，是较为合适的。

对于弹性体而言，有位移(displacement)、应变(strain)和应力(stress)三种最基本的物理量，可描述变形前后的状态。此外，加载过程通过外载荷(load)这个参数描述。

弹性力学通过三类偏微分方程组将这几个参数关联起来。
  · 平衡方程：描述内力(应力)和外载荷(含体积力)之间的平衡关系

  · 几何方程：描述位移和应变之间的关系，通过应变描述位移时，还需要增加变形协调方程

  · 物理方程(本构方程)：描述应力和应变的关系

以上三类方程结合力和位移的边界条件即可求解。

学过偏微分方程的同学知道，求解偏微分方程之前，首先应该证明解的存在性和唯一性，对于现实问题，绝大多数都满足此两个条件；但与此同时，绝大多数偏微分方程都无法得到解析解，因为边界条件太复杂；边界稍做修改，解析解就变化万千。

既然无法获取解析解，那么我们开始寻求数值解，常用的方法就是变分法结合有限元法和有限差分法。