什么是频率响应函数（FRF）？

coohit

“ 试验模态分析中的频率响应函数（或FRF）如图1所示：
  · 是基于频率的测量方式；
  · 用于识别物理结构的共振频率、阻尼和振型；
  · 有时指输入和输出之间的“传递函数”
  · 表示线性时不变系统的输入（x）和输出（y）之间的频域关系。”

图1:FRF函数振幅和相位的Bode图。振幅的峰值对应于试验对象的固有频率/共振。在共振频率下相位发生了变化。

在频率响应函数测量中，可以观察到以下情况：
  · 共振-峰值表示被测结构的固有频率；
  · 阻尼-阻尼与峰值的宽度成正比。峰越宽，阻尼越大；
  · 振型-多个FRF的振幅和相位被用于确定结构的振型。

01—试验模态分析

许多类型的输入激励和响应输出可以用来计算试验FRF。例如：
  · 机械系统：输入力（N）和输出加速度（g）、速度（m/s）或位移（m）；
  · 声学系统：输入体积加速度（Q）和声压输出（Pa）；
  · 组合声学和机械系统：输入力（Q或N）和声压输出（Pa）、加速度输出（g's）等；
  · 旋转机械系统：输入扭矩（Nm）和输出旋转位移（度）。
对于机械结构的试验模态分析，通常输入为力，输出为加速度、速度或位移。
力可以通过以下方式施加和测量：力锤，激振器。
可通过以下方式测量响应：
加速度计：测量加速度振动
激光：测量表面速度
摄影测量：位移
一般情况下，输入力谱（X）应该不随频率变化，均匀地激励所有频率。当观察响应（Y）时，响应中的峰值表示被测结构的固有/共振频率，如图2所示。

图2：将宽频力脉冲信号施加到结构上，以识别响应中的共振频率。

由于FRF响应根据输入“正则化”，因此产生的FRF函数中的峰值是测试对象的共振频率。

02—FRFs的虚部和振型

FRF是一个复函数，它既包含振幅（输入力与响应的比率，例如：g/N）又包含相位（以度表示，指示响应是否随输入同相或异相移动）。
任何具有振幅和相位的函数也可以转换为实项和虚项，如下面的方程式1所述：

方程1：振幅、相位、实数和虚数之间的关系。

在将FRF从振幅和相位转换为实部和虚部之后，会发生一些有趣的事情（图3）：
  · 在固有/共振频率下，FRF的实部等于零；
  · 虚部有“峰值”或高于或低于零，这表明存在共振频率。峰的方向可用于确定与固有/共振频率相关的振型；

图3：左-用振幅和相位表示的FRF，右-用实部和虚部表示的FRF

如果在结构上的不同位置获得多个FRF，并且它们都有相对于一个公共参考点的相位，则FRF的虚部可用于绘制模态振型。
在下面的例子中，对悬挂在自由边界条件下的简单金属板进行了六次FRF测量（图4）。六个FRF的位置如下：
  · 测量点1和3位于板的一端；
  · 测量点7和9在中心；
  · 测量点13和15在另一端，相对点1和3。

图4：简单板上六个FRFs的虚部图

当绘制FRF的虚部并观察532Hz处的结果（图5）：
  · 测量点1和13同相移动，是板的相对角（红色和青色）；
  · 测量点7和9的振幅较低（蓝色和洋红色）；
  · 测量点3和15在板的相对角（棕色和绿色）上同相。

图5：在平板的几何上绘制的六个FRFs的虚部的振幅。

当绘制532Hz处板的振型，可以看到板处于扭转状态。
谁知道观看“想象的”FRFs会如此有用呢？!

03—数字信号处理术语

在术语中，FRF通常由单个大写字母H表示。输入为X，输出为Y。H、X和Y都是与频率相关的函数，如图6所示。

图6:H表示输入X和输出Y之间的FRF

FRF是输入（x）和输出（y）的互功率（Sxy）除以输入的自功率（Sxx），如图7所示。

图7:FRF（H）是一个互功率除以一个自功率。

自功率Sxx是输入谱的复共轭（a-ib）乘以它自身（a+ib），它成为一个全实函数，不含相位。互功率Sxy是输出谱乘以输入谱的复共轭，包含幅值和相位。

04—平均FRF测量：相干与估计

为了保证测量得到的结构传递函数估计可靠，通常需要多次测量FRF。通过估计相干函数来检查单个FRF的重复性，而根据期望的最终结果，使用不同的估计方法来计算平均值。
相干性
相干性是频率的函数关系，它表示有多少输出是由FRF中的输入引起的。它可以作为FRF质量的指标。它评估从测量到重复相同测量的FRF的一致性。
相干函数（图8）的值在0到1之间：
  · 在特定频率下，值为1表示FRF的振幅和相位在测量之间是非常可重复的。
  · 值为0表示相反–测量不可重复，这可能是测量设置中存在错误的“警告标志”。

图8：绿色：相干性，红色：FRF

当FRF的振幅非常高时，例如在共振频率下，相干性的值将接近1。
当FRF的振幅很低时，例如在反共振时，相干性的值将接近于0。这是因为信号太低，仪器的噪声使其重复性不一致。这是可以接受的/正常的。当在共振频率或整个频率范围内的相干性接近于0而不是1时，这表明测量有问题。
问题可能包括：
  · 设备连接错误-例如，没有向需要ICP电源的传感器提供ICP电源
  · 激励不一致-结构受到力锤的冲击不一致（例如，操作员疲劳，冲击结构的角度不同）
  · 力度不足-结构未被激发。例如，一个非常小的锤子（例如：铅笔的大小）在一个大的物体上（例如：一座桥的大小），在激励和响应测量之间有很大的距离。
注意，如果只进行一次测量，则相干性值为1！该值将是整个频率范围内的一个值，因此呈现出“完美”测量的结果。这是因为至少需要进行两次FRF测量并进行比较，才能开始计算有意义的相干函数。别被愚弄了！
估计
当通过输入30Hz的激励频率来测量结构上的频率响应函数时。使用三种不同的力水平，会发生以下情况：
  · 测量#1–2N的输入力产生10  g's的加速度响应：响应与输入的比率为5.0 g/N；
  · 测量#2–1N的输入力产生5.1 g's的加速度响应：响应与输入的比率为5.1 g/N；
  · 测量#3–30 Hz时输入力的3N结果为14.7 g's：响应与输入的比率为4.9 g/N；
为什么测量值之间存在差异？与从有限元模型生成FRF不同，每次进行测量时，测量FRF可能不会返回相同的值：结构不是完全线性的，测量中可能会有少量仪器噪声。
三种测量结果相似：5.0、5.1和4.9g/N。哪一个是正确的？
为了确定“正确”的值，估计被用于计算FRFs的输入输出的振幅比（H）。目前使用的FRF估计主要有三种：H1、H2和HV估计。
当试图描述一个结构时，下表收集了5个不同频率的FRF测量数据：
以下是一个简单的学习示例。在单次FRF测量中，当观察3个不同频率时，如表1所示，可在5个单独测量中观察到以下情况。

表1：五种不同测量中三种不同频率的FRF数据。

绘制这些X和Y对，一条直线拟合数据。直线的斜率（通常为g/N）将决定FRF的振幅。估计函数会影响数据的拟合方式，以及调整每个数据点以创建最佳拟合线的程度。
H1估计量
最常用的估计是H1估计量（图9）。它假设输入端没有噪声，因此所有的X测量（输入端）都是准确的。假设所有噪声（N）在输出Y上。

图9:FRF测量的H1估计量

如果输入端存在噪声，则该估计量往往低估了FRF。H1估计反共振比共振好。当输入不相关时，用该估计量可获得最佳结果。

图10：左-FRF函数，右-5个单独测量值的X和Y值图，以及平均值的Y值修正

H2估计量
或者，可以使用H2估计量（图11）。这假设输出上没有噪声，因此所有Y测量都是准确的。假设噪声（M）仅在输入X上。

图11:FRF测量的H2估计量

如果输出有噪声，这个估计量往往会高估FRF。这个估计量估计共振比反共振更好。注意，245Hz反共振频率的结果比133Hz共振频率的要大，如图12所示。

图12：左-FRF函数，右-5个单独测量值的X和Y值图，以及X平均值的校正

Hv估计量
Hv估计器提供了频率函数的最佳总体估计。它近似于共振处的H2估计和反共振的H1估计。

图13:FRF测量的Hv估计量

然而，它确实比其他两个需要更多的计算时间，这对今天的计算机来说不是问题。Hv估计（图14）假设噪声（M和N）在X输入和Y输出上。

图14：左-FRF函数，右-5个单独测量的X和Y值图，以及X和Y的平均校正

结论
频率响应函数（FRFs）用于测量和表征结构的动态特性。
FRF包含以下信息：
  · 共振频率
  · 阻尼
  · 振型
当产生平均FRF时，相干函数可以给出FRF质量的指示，而估计方法则用于解释测量中的噪声。

navigator9527

学习了  资料非常好。感谢