随机信号频谱分析用PSD的原因

pleaseuse

“正弦信号频谱分析多用幅值谱，单位是g。随机信号频谱分析多用功率谱密度PSD (Power Spectrum Density)，单位是g2/Hz。是否只是使用习惯，还是另有原因？文本将着重进行解释。”

01—引子，两个问题及思考

问题1：铁和棉花哪个重？
答：铁，老铁没毛病～

问题2：1kg铁和1kg棉花哪个重？
答：一样重，智商没毛病～

当我们回头仔细思考问题1时，更严谨的回答应该是等体积的铁比棉花重，或者问一下各自的质量再作比较。

而日常中问题1没毛病的原因是：我们默认了比较的是密度。

工程上，特别是试验标准（PSD谱线一般作为随机振动试验的输入），要求用最简洁的语言，最少的物理量来准确无歧义的描述问题。

02—问题，两个为什么

对信号进行频谱分析时，正弦信号用幅值谱，单位是g，容易理解。

而随机信号多用功率谱密度（PSD），单位是g2/Hz，大家对这种写法及单位往往难以理解。

而“这是一种使用习惯”这个回答并不真诚，如果是一种习惯的话，最初制定者为什么偏偏用这种习惯？

实际上随机信号使用PSD的原因涉及到离散信号频谱分析的一些数学计算，我们要问两个为什么：

1. 分母为什么是Hz，即为什么要除以频率？
2. 分子为什么要平方，即为什么是能量单位？

03—不相关的话题，相关的思考

在回答上一节问题前，先了解一个不相关的话题：概率统计。

图1，是对信号进行分布点统计。将幅值范围划分成很多bins，每个bin都有相同的宽度△bin，统计信号在各个bin下的点数。

图1

因为图1统计的点数取决于所分析信号时间的长短，所以需要用百分比的形式来消除时间长度的影响，如图2右图。

图2

图3，将图2百分比除以△bin，即得到概率密度图，此图才是重点。

图3

下面对两种类型的信号进行分析：

A.    正态分布（高斯分布）的随机信号：
图4，图5是对同一信号分别采用不同的△bin计算分布百分比，可以看出两张图的柱状图高度并不一致（图4右图量程0.1，图5右图量程0.2，水印挡住了坐标轴）。
因为△bin越大，就有越多的点被分配到该柱状图内。

图4

图5

图6，图7是分别基于图4，图5除以各自的△bin，得到概率密度柱状图，可以看出两个结果一致，且都和理论上的正态分布曲线（红色曲线）相吻合。

图6

图7

补充：正态分布随机信号的概率密度函数为：

所以，为了用不同△bin都能得出该随机信号是正态分布的结论，基于最简要原则，对于该随机信号采用概率密度函数的方式进行概率统计。

B.    单一幅值的信号：
图8，图9是对同一信号分别采用不同的△bin计算分布百分比，可以看出两张图的柱状图高度均为1。
因为△bin的改变，并不影响分配到该柱状图内的百分比，所以没有必要再额外除以△bin。

图8

图9

所以，不同△bin都能得出相同的分布百分比，基于最简要原则，不需要计算概率密度。

总结：

随机信号，很多信号杂糅在一起，由于△bin不同，会影响百分比大小，需要除以△bin，所以用概率密度来表示，是为了避免因为分析参数选取不同而导致不同的结果；

单一信号，△bin不同，不会影响百分比大小。所以不用除以△bin，也是为了避免因为分析参数选取不同而导致不同的结果。

这跟铁和棉花的问题具有类似的思考……

04—回归主题，随机与正弦频谱

在对信号进行频谱分析时，频率分辨率△f就相当于上一节介绍的△bin，同时需要强调：△f=1/T (T为分析数据块的时间长度）。

PSD的计算公式为：时域信号傅立叶变换后的频谱幅值平方，除以2倍频率分辨率，再乘以窗函数能量修正系数。

注意：A为频谱peak值。

图10，图11分别对比了同一随机信号不同△f下的平均幅值谱（单位g,没有除以△f）和平均功率谱密度PSD。可以看出只有PSD是一致的。

图10

图11

图12，图13分别对比了同一正弦信号不同△f下的幅值谱（单位g,没有除以△f）可以看出幅值是一致的，不需要除以△f。

图12

图13

随机信号为什么用PSD的总结：

1. 分母为什么是Hz，即为什么要除以频率？
随机信号是不同频率信号杂糅在一起，由于频率分辨率△f不同，会影响各频率下频谱能量幅值的大小，需要除以△f，用PSD表示，是为了避免因为分析参数选取不同而导致不同的结果。

2. 分子为什么要平方，即为什么是能量单位？
频率分辨率△f不同是由于分析的数据块时间长度T不同导致的。对于随机信号，不同的时间长度T内，统计特征RMS是一致的，即能量特征是一致的。
由于PSD谱线在频谱上包络的面积开根号是RMS值，等于时域上的RMS，再加上随机信号的频谱谱线多是由平均得到，故在能量上进行平均计算会得到比较好的一致性。

qiaohai

用通俗的语言给初学者描述随机振动，的确是高难的了，也难为了LZ讲了一长篇。
难点之一，随机振动是定义在无穷大的时间，无穷多的样本里，而“各态历经”则可以用一个无穷长的样本代替无穷多个样本，这些无穷大将初学者难住了；
难点之二，随机振动应该用也只能用功率谱密度函数来表述，但它的数学定义是什么自相关函数的傅里叶变换，更糊涂了；
所以要从工程上理解随机振动及其功率谱密度，必须要有一个工程定义，它就是“一个随机信号通过单位频率宽度理想滤波器以后的平均功率”。
通过单位频率宽度以后（宽带）随机振动为一个中心频率为该频率的窄带随机信号，就是该频率下幅值随机变化的正弦信号。
在工程上用FFT做出各个频率段下的幅值，它们也是随机性的，必须取大量数据取平均，LZ的例子也用了20个或40个信号平均。这样求得“功率谱密度估计”，平均次数越多估计精度越高。
工程上的随机PSD的计算心中不能少了“估计”的概念，所以 PSD=A2/2DF 中的等号 “=” 不能读作“等于”，应当理解成软件编程中的“赋值”更恰当。  
就补充这么多吧。

qiaohai

单纯的正弦信号和周期信号要用频谱分析求幅值，纯粹的随机信号用PSD分析，这个清楚了。
世界是复杂的，几种信号的混合怎么分析呢？比如随机加正弦（周期）信号，又有随机又有正弦（周期）信号如何分析呢？
我有一组数据，32*1024=32768个点，单位加速度G ，1024点数据时间为200ms，总时间T=6.4秒，请大家分析一下。

navigator9527

学习了  讲的非常简洁明了

imxuan

作为初学者，真的是帮我解决了一些疑问，非常好。感谢

an5628300

楼主，能不能推荐几本这样的书，现在正在了解随机信号