频谱、频谱密度、能量谱、功率谱，对比着看

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频谱、频谱密度、能量谱、功率谱，也有很多小伙伴深深的陷入沉思，迷惑不解。

确知信号，是指其取值在任何时间都是确定的和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何时间的取值。例如，振幅、频率和相位都是确定的一段正弦波，它就是一个确知信号。按照是否具有周期重复性，确知信号可以分为周期信号和非周期信号。在数学上，若一个信号f(t) 满足下述条件

式中，T>0，为一常数，则称此信号为周期信号，否则为非周期信号。满足上式的最小T 称为此信号的周期T0，将1/T0 称为基频f0。一个无限长的正弦波，例如f(t)=8sin(5t+1)，就属于周期信号，其周期T0=2π/5；一个矩形脉冲就是非周期信号。

我们再从一个高中物理知识来引出能量信号和功率信号的概念。已知阻值为R 的电阻上的电压和电流分别为v 和i，则此电信号的瞬时功率为：

可认为信号电流I 或电压V 的平方都等于功率。后面我们一般用S 代表信号的电流或电压来计算信号功率。若信号电压和电流的值随时间变，则S 可以改那些为时间t 的函数f(t)。故f(t)代表信号电压或电流的时间波形。这时，信号能量E 应当是信号瞬时功率的积分。

如果上述积分存在，则称之为能量信号。信号f(t) 的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。能量有限信号是指能量有限（能量为正的有限值）且不为0，而平均功率为0。典型的能量信号如方波信号、三角波信号等，非周期的确定信号是能量信号。

对于一些能量不可积的无限信号而言，如周期信号和能量无限的随机信号，无法用其能量来描述，此时就需要用功率来描述这类信号。功率就是指该信号在整个时间域内的能量累计对时间的平均；功率有限信号是指能量无穷大（或叫无限），而平均功率有限（平均功率为有限的正值）的信号。

信号的平均功率：

在实际的通信系统中，信号都具有有限的功率、有限的持续时间，因而具有有限的能量。但是，若信号的持续时间非常长，则可近似认为它具有无限长的持续时间。此时，信号平均功率是一个有限的正值，但是其能量近似等于无穷大。我们把这种信号称为功率信号。

总结一下，信号可以分成两类：

  · 能量信号：其能量等于一个有限正值，但平均功率为零；

  · 功率信号：其平均功率等于一个有限正值，但能量为无穷大。

确知信号在频域中的性质，即频率特性，由其各个频率分量的分布表示。它是信号的最重要的性质之一，和信号的占用频带宽带以及信号的抗噪声能力有密切关系。信号的频率特性有四种，即功率信号的频谱、能量信号的频谱密度、能量信号的能量谱密度和功率信号的功率谱密度。

01、频谱    

我们正常所说的频谱，通常指的是傅里叶级数。

这里不再赘述，直接上图。

傅里叶级数的三维表示

脉冲方波的傅里叶级数

02、频谱密度  

设一个能量信号为s(t)，则将它的傅里叶变换定义为它的频谱密度

能量信号的频谱密度F(w) 和周期性功率信号的频谱Cn 的主要区别有两点：

  · F(w) 是连续谱，Cn 是离散谱；

· F(w) 的单位是伏/赫(V/Hz)，Cn 的单位是伏(V)。

能量信号的能量有限，并分布在连续频率轴上，所以在每个频率点f 上信号的幅度是无穷小，只有在一个小段频率间隔df 上才有确定的非零振幅；功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非零振幅。

傅里叶级数如何过度到傅里叶频谱

从上图中，我们可以看出，当脉冲信号的周期T 不断变大的时候，频谱宽度逐步变窄。这个时候我们画出F(nw)/w 的频谱密度函数。图中红色长方形，宽度为w，长度为F(nw)/w，面积为F(nw)。

傅里叶级数到傅里叶变换，离散到连续的谱。

一般情况下，在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称为频谱，这时在概念上不要把它和周期信号的频谱相混淆。

03、能量谱密度

能量谱也叫能量谱密度，针对能量有限的信号，是指用密度的概念表示信号能量在各频率点的分布情况。也就是说，对能量谱在频域上积分就可以得到信号的能量。能量谱（密度）是信号幅度谱的模的平方，能量谱（密度）也是能量信号傅里叶变换绝对值的平方（帕塞瓦尔定理）。能量谱密度的单位是焦耳/Hz。

设一个能量信号s(t) 的能量为E，此信号的傅里叶变换（即频谱密度）为S(f)，则由（帕塞瓦尔定理）得知：

其中，G(f) 为能量谱密度。式中|S(f )|2在频率轴f 上的积分等于信号能量，所以称|S(f )|2为能量谱密度，它表示在频率f 处宽度为df 的频带内的信号能量，后者也可以看作是单位频带内的信号能量。

04、功率谱密度

由于功率信号具有无穷大的能量，所以上述公式的积分不存在，不能计算功率信号的能量谱密度，但可以求出它的功率谱密度。为此，我们首先将信号s(t) 截短长度等于T 的一个截短信号ST(t)，-T/2<t<T/2。这样，ST(t)就成为一个能量信号了。对于这个能量信号，我们可以用傅里叶变换求出其能量谱密度|ST(f )|2，并由（帕塞瓦尔定理）定理有

其中，P(f ) 定义为信号的功率谱密度。

功率谱也叫功率谱密度(power spectral density，PSD)，针对功率有限的信号，从名字分解来看，观察对象是功率，观察域是谱域（通常指频域）。密度是指观察对象在观察域的分布情况，也就是指信号功率随着频率的变化情况。所以，针对功率有限信号，功率谱密度定义为单位频带内的信号功率随频率的变化情况。也就是说，对功率谱在频域上积分就可以得到信号的功率。

频谱与功率谱、能量谱有啥区别和联系？

  · 一个信号的频谱，是指将信号从时域表示转变为频域表示，而功率谱、能量谱是从功率、能量的观点对信号进行的研究。其实频谱和功率谱的关系归根结底还是信号和功率、能量等之间的关系。

  · 频谱通常指信号的Fourier变换，是一个时间平均 (time average) 概念，频谱反映的是信号幅度和相位随频率的分布情况，它在频域中描述了信号的特征。功率谱的概念是针对功率有限信号的（能量有限信号可用能量谱分析），所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。功率谱保留了频谱分析的幅度信息，但是丢掉了频谱分析的相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。

来源：今日头条号通信M班长