力学的世纪难题——湍流

weixin

人们关心流体的运动是很自然的，因为地球为大气所包围，而地球表面的2/3为水面覆盖。作为科学问题的湍流，是在1883年Reynolds做了区分层流和湍流这两种不同形态流动的实验后确立的。而自20世纪初以来，由于工程技术的发展，对认识湍流的规律提出了迫切的要求，从而大大地推动了湍流的研究。在这100多年中，对湍流的认识的确取得了很大进展，否则如航空、航天、船舶、动力、水利、化工、海洋工程等工程技术，以及气象、海洋科学等自然科学都不可能有很大的进展。但另一方面，人们对湍流的认识又还很不全面，从而制约了这些工程技术和自然科学的进一步发展，也可能会对21世纪的某些新兴科学技术的形成起到制约作用。因而在21世纪之始，再一次将这一世纪难题提到科学工作者面前是很必要的。

湍流运动的复杂性

湍流运动复杂性的根源在于它是强非线性系统的运动。控制湍流运动的方程——Navier-Stokes (N-S) 方程是非线性的。在多数情况下，它的解是不稳定的，从而导致了流动的多次分叉，形成了复杂流态，而方程的非线性又使各种不同尺度的流动耦合起来，无法将它们分别研究。

一个世纪以来，数学家们曾对N-S方程做过大量研究，但由于其非线性带来的困难，正面的成果远不如对其他数学物理方程的研究所得到的多。看起来，进一步对N-S方程的数学性质做研究尽管重要，但依靠这一途径来解决工程技术和自然数学中提出的湍流问题恐怕是不现实的。

物理学家、力学家以及一部分数学家试图从另一途径来解决湍流，即通过直接建立能反映其某些重要特性的模型来认识湍流。例如，在20世纪20年代通过和分子运动论中的分子碰撞及分子自由路程作对比，提出了涡粘性和混合长理论，解决了一些迫切需要解决的工程技术问题。这一理论虽不完整而且要依靠实验来确定其中的参数，因而远不能认为真正解决了湍流问题，但由于其简洁性，至今仍在多种场合被应用。

到20世纪30年代，由于认识到湍流中包含了很多随机的成分，所以提出了湍流的统计理论。但是与分子运动的统计理论不同，这里找不到有关湍流脉动的普适的概率密度分布。所以尽管做了很多努力，并没有能解决湍流的问题。然而，在20世纪40年代，特别是通过苏联Kolmogorov的工作，在一些合理的假定下，在湍流泳动能谱的惯性区（当雷诺数足够大时会有这一惯性区），的确得到了一些普适的规律。有意思的是，经过50年的相对“沉寂”后，近来很多人对这一范围的问题再度产生兴趣，提出了不少新的模型，试图找到这一范围速度脉动的所谓标度律，即相距为1的任两点速度差（绝对值）的任一次方的平均值和1的某一次方之间的简单的指数关系。这一方面最成功的是在美华人学者佘振苏等的工作。他们首先通过均匀各向同性湍流的直接数值模拟，发现了其中存在的强间歇现象，以及一些与Kolmogorov假设不一致的现象，在此基础上，他们提出了一种级串（大尺度“涡”对尺度比其小的“涡”的作用）的统计模型，从而得到了标度律，很好地与已知的实验结果吻合，克服了Kolmogorov理论的不足。这一统计模型的建立，是在用N-S方程做数值模拟的启发下提出的，但后来发现对一些不是由N-S方程控制的其他非线性系统的混沌运动，这一模型也是有效的。说明这一模型的确反映了非线性系统发生的混沌运动的某一共有的性质。其结果对非线性科学可能有比说明湍流更重要的影响，值得大家关注。

对湍流研究的深入

但是，这一理论目前只对均匀各向同性湍流有效，而且要求雷诺数足够大而存在惯性区，其研究对象从物理机制看实际上是一封闭系统，而绝大多数与工程技术有关的湍流都是非均匀各向同性的、与周围环境有相互作用的开放系统，而且雷诺数又不是大得足以保证惯性区的存在。所以，从20世纪40年代开始，人们就探索另一条路子。对很多工程技术问题，如果能知道与流动有关的平均量就够了，而Reynolds早就推导出了平均量满足的方程（雷诺方程）。可惜其中出现了湍流脉动的二阶关联量，而由于没有普适的脉动概率密度函数，这些关联量无法事先求出，从而成了新的未知量，使未知量数目多于方程数。

而当人们推导这些二阶关联量满足的方程时，其中又出现了脉动的三阶关联量。它们又是新的未知量，使未知量数仍然多于方程数。这一过程可以不断做下去，方程数目会越来越多和越来越复杂，但未知数总是多于方程数。这就是有名的湍流方程不封闭的问题。人们不得不停止于某阶，并设其中出现的最高阶关联量可以通过低阶的关联量表达出来，从而使方程封闭。这是我国周培源教授开创的研究方向。但是这种做法往往缺乏明确的物理图像，而通常只建立在量纲分析的基础上，因而又带来一些必须通过其他途径（比如将计算结果与实验结果比）来确定的未知参数。这使得从理论上看它很不完美，而从实践上看，这些参数又不具有普适性，对不同类型的流动，在能取得大量实验数据以检验这些参数是否合用之前，其计算结果不能令人放心。但是尽管这一方法有这些缺点，它却是目前唯一能实际提供众多工程技术问题及一些自然科学问题所需实际计算方程的途径。而且它的成果也的确已为很多问题的解决提供了有用的方法，因为这一方法在继续受到人们的关注。如果打个比方的话，近代的绝大多数药物，也都是依靠大量的经验和筛选所产生，而不是事先研究清楚了致病原因及药物治病原理而“设计”出来的。但是为了对付各种疾病，这种在一定的生理、病理、药理等理论指导下通过大量试验而筛选出有用药物的方法，在很长时间内还会是一个主要方法。同样地，大量的工程技术问题，也不能等到“彻底”弄清了湍流本质再去解决。

从20世纪50年代开始，人们已经注意到在剪切湍流中不仅有小尺度的随机脉动，而且存在有一定规律性的大尺度的拟序结构，又称相干结构。到20世纪60年代末，这一发现得到确认。而且这些大尺度结构，正是外部环境对湍流发生影响的“中介”。以边界层为例，外部流动在近壁面处产生强烈剪切，这一剪切会产生大尺度的结构（人们相信，也有一定证据说明这是流动不稳定的结果）。这些大尺度结构尽管还有一定随机性，但却又有相当的确定性。它们的能量占据了总湍流的大部，而又通过某种目前还不清楚的机制破裂成小尺度的脉动，从而对整个湍流的发生和维持起重要作用。从物理上说，这种剪切湍流是一种非线性开放系统，因为它与外部环境有相互作用（通过剪切力或其他途经如热量交流而产生）。在这种系统中存在着大尺度的非完全随机的运动，似乎是一种普适的规律。而这种大尺度运动的存在，可能是上述模式理论中不能找到普适参数的原因。因为小尺度脉动也许会有某种普适性，如前面所说的大雷诺数均匀各向同性湍流能谱惯性区中所显现的那样。但大尺度运动则必然和外界条件有关，而外界条件显然是多种多样的。因此，探讨这些大尺度运动的规律及它们和小尺度脉动的关系，显然是更深入了解湍流规律的重要的，或者可说是不可少的一环。特别是大多数工程技术问题的雷诺数都不够大，也许惯性区不存在或其跨度很小，以至于针对惯性区而发现的普适规律对解决实际工程技术问题并不能提供直接的帮助。

研究—应用—研究

经过30多年的研究，人们对相干结构的研究已经取得了很大进展。现已可以肯定，自由剪切湍流中的相干结构是由于流动的不稳定性产生的，而且可以用流动稳定性理论来计算。因为这类稳定性是所谓惯性不稳定性，它受粘性及小尺度脉动的影响不大。而壁湍流如边界层湍流中的相干结构，虽然从原理上说也有理由认为是由不稳定性产生的，但这种不稳定性受粘性及小尺度湍流的影响大，很难把它的研究和小尺度湍流的研究完全分开。近年来在用流动稳定性理论解释壁湍流的相干结构产生的机理上，主要由于中国学者的努力，已取得了一些进展。

从实验和湍流直接数值模拟的结果看，相干结构在湍流输运中起着重要作用。因此，对其研究不仅是理论上的必需，也是实际所需。而且，作为非线性开放系统所产生的混沌行为中的“自组织”现象，对其研究无论从方法论上还是从实际结果看，都有可能产生超出力学范围的影响。

从目前的认识来看，既然绝大多数工程技术问题中的湍流都是剪切湍流，且雷诺数不是很高，相干结构的研究，包括它与小尺度湍流的相互关系的研究，似应是湍流研究的关键。

工程技术和科学的发展，不断地对湍流研究提出新的要求。例如，超声速民航机和空天飞机的研制，就迫切需要对超声速边界层的湍流有更深入的了解，包括从层流到湍流的转捩及充分发展湍流的性质。在这方面我们还知之甚少。将低速情况下所得到的规律推广到高速情况绝非易事，因为在超声速边界层中将出现很多“小激波”，从本质上增加了其复杂性。为了对天气系统建立更完善的模型，除了要考虑大气中湍流外，大气与下垫面（海洋及陆地）的相互作用也是不可忽视的一环，而这里正是由于对湍流规律掌握得不透而妨碍了更精确模型的建立。限于篇幅，不能以一一列举更多的具体实例。

大型计算机及计算科学的发展，为湍流研究提供了有力的手段。现在已经可以对一些简单的、总体尺度不大、雷诺数也不大的湍流，通过直接解N-S方程进行数值模拟。可以得到很多用实验方法不能得到的流动细节，为建立更合理的湍流理论模型提供依据。前述均匀各向同性湍流惯性区标度律级串模型的提出过程，就是一个很好的例子。

有人认为，也许有朝一日湍流问题都可以通过数值解N-S方程来解决，因此对其深入进行机理性研究的重要性就降低了。这个观点是不正确的。如果要通过这种方法来计算飞机和船舶的完整流场，包括它们边界层中的湍流，则计算机的速度和存储容量至少要比现在的巨型机提高107~108倍。而要对付海洋和大气中的湍流就更不可想象了。因为目前气象预报的数值计算网格在垂直方向还以百米计，水平方向上以十千米计，而湍流的小尺度则以毫米计，且这些还不包括两相流等带来的复杂性。所以在21世纪，为了促进科学和工程技术的发展，对湍流的机理性研究仍是不可少的。计算技术的发展的确为很多工程技术的发展带来了新的可能性，有可能对它们进行优化设计。但是只要这些工程技术牵涉到湍流，则如果没有正确的湍流模型，优化的结果实际并不是真正的优化。不正确的湍流模型，甚至可以带来错误的结果。因此，计算技术的发展不但没有减少对湍流研究的迫切需求，反而更增加了进一步了解湍流的要求，否则由计算技术发展带来的好处便不能充分发挥。

由于模式理论的计算结果不能十分令人满意，而直接解N-S方程以解决工程技术问题又不现实，所以人们还提出了一种“折衷”方法，即大涡模拟方法。其实质是试图把空间尺度大于某一事先确定值的脉动量用一种“平均化”的N-S方程算出来，而把尺度小于这一给定值的脉动量对这一方程的影响用某种模型化的方法加到这一方程中去。这样做，既兼有直接数值模拟和模式理论的好处，如可以得到不少脉动量的细节而计算工作量仍然相当大，以至于还不能用于实际的工程技术问题，另一方面，小尺度脉动作用的模型化仍然不完善。但是，看起来这一方法也许在不太久的将来在某些问题中可以替代模式理论而作为更可靠的计算方法。

总之，湍流问题仍将是21世纪为众多工程技术问题及一些自然科学的发展所不能回避而必须认真对待的一个重要科学问题。由于它是强非线性系统产生的混沌运动，具有非常复杂性的性质。而其控制方程的数学性质又很难弄清。所以在实验和直接数值模拟（在控制方程及计算方法可靠时，相当于一次数值实验）的配合下，提出合理的湍流模型，将是比较现实的解决问题的方法。

来源：《中国航空报》，作者：周恒。