什么是傅立叶变换？

weixin

傅立叶变换学了有些年头，可是一直没有求甚解。如果有人问我，我只能写出个数学变换的式子，高深莫测一番，生怕追问下去。这样做，本质上就好像有人问“什么是光”,答曰“从灯泡里出来的东西”一样，看似回答了，却不得要领。因此，我写下这篇短文，试图通过图像来理解傅立叶变换。

1. “频率”概念的由来

首先要问，为什么需要傅立叶变换？要回答这个问题，我们不妨用时间t 与频率f 之间的变换做例子。在量纲上，傅立叶变换把一个量纲转换为它的倒数，频率=1/时间，这样做看不出来有什么意义，还是想想看真实世界里的例子吧！

凡有交流，就要传递信号。这种“交流”是指广义的、普遍的，无论是自然界里蝙蝠探路、人们互相交谈，还是卫星接收信号，都属于交流的范畴。为了传递信号，产生交流，我们需要以“波”作为信号的载体。

最简单的波，就以一定频率传播。蝙蝠发出了超声波，人们说话，声带振动带动了空气疏密产生的波（声波），卫星识别电磁波。这样，我们就有了频率的概念。更进一步，除了手机 GHz 的波这些经典电磁波，在量子世界里，原子的跃迁也是以一定的频率发生的。我们甚至可以说，自然选择了以这些单频的模式为基础。

2. 信号的产生和分解

事实上，任何信号，都可以分解为这些“单频模式”的和。举一个同样是分解为基本模式的过程的类比，来自电磁学。假设任何一个带电体，它上面电荷分布则可以分解为点电荷（单极子）+偶极子+四极子+…的情形（见下图）。振幅A1 为点电荷对应的“强度”，即电荷数，A2 为电偶极矩大小，等等。这样，就可以用一系列数学形式简单且具有对称性的电荷分布来近似的描述任意的电荷分布。所谓“描述”，指它们产生同样的电场分布。

与之类似的，任何信号也可以按照频率来分解。举个实际的例子，击弦乐器——钢琴。琴弦被小锤敲击后产生声音（见下图）。

这个信号就可以分解为一系列的单一频率的信号的和。频率最低的叫做基音频，其他的频率都是它的整数倍，叫做泛音频。把上图写成式子，即

这里我们可以看到一个特点，就是泛音频平方衰减：2倍频衰减为1/4，3倍频衰减为1/9，等等。

可以与击弦乐器相对比的，是拨弦乐器吉他。

由于拨弦与击弦的扰动方式不同，使得琴弦的振动呈四次方衰减。这也解释了为什么钢琴音色比吉他丰富：相对于钢琴，吉他的高频泛音衰减要快得多。

以上说明了信号在频率上产生，可以被频率分解的过程。接下来就是怎么测量这些信号了。

3. 信号的测量

为了载有复杂信息，必须要有复杂信号。实际上，复杂信号的产生、传递、测量，都需要把它们分解为一系列频率来获得。下面以高纯锗探测器作为信号测量例子。

能量为E 的光子打进来，与高纯度锗里的一个电子发生碰撞，E光子∝E电子。这个电子能量也很高，在锗里继续激发了一系列的电子-空穴对。高能量的电子能激发更多电子-空穴对，所以 E电子∝N，N 即电子-空穴对数目。这些对，被高的偏置电压快速拉走，作为电信号被放大，我们有N∝V，V 即这些电子-空穴对们带来的电压。这个电压进入多道，如果电压落在了两个道之间，就认为电压是这个道对应的能量值。这样，我们就测量了Gamma 光子的能量。

现在我们完成了一次信号测量的过程。这个信号的测量和傅立叶变换有什么关系呢？实际上，我们已经不知不觉地做了一次傅立叶变换。

入射的光子是时间的函数，不同的时间有不同能量，不同数目的光子到达探测器。但是我们测量的是能量！与此同时，我们已经丢失了时间的信息。我们可以说，有多少光子处于某能量段，又有多少光子处于另一个能量段，也就是能谱，但是我们不知道光子是什么时候到达的。当我们测量时间变得很长的时候，能谱的相对误差就会变小。如果我们测量1分钟，那我们可以说所有被记录的粒子都在这一分钟里到达，也就是还含有1分钟为时间分辨率的信息；但是如果我们测量1年（如某些宇宙射线），在这一年里不看能谱，一年后再看能谱时，全然不知道能谱上哪段能量的粒子的先来后到。换句话讲，我们对时间进行了积分。如果我们说一月观察一次，二月再看一次谱，实际上时间分辨率已经不是一年，而是1个月了。也正因为如此，实验家喜欢测量时间分辨的能谱，甚至愿意把1小时测量分解为60个1分钟来做：我们把每分钟的谱相加，就得到了1小时的谱；但反过来却做不到了。扯远了，在这里，我们不考虑实验方法，只是说得到一个可靠的能谱，就要测量很长时间，就是对时间积分。而探测器的测量过程：测量很长时间 (∫dt)，观察能谱，就是做了一次傅立叶变换。也就是说，傅立叶变换并非人为的数学上的发生，而是自然而然发生了的。

信号传播在时间里，但是能谱却从能量（频率）来记录，就是一种傅立叶变换。

4. 傅立叶变换的数学形式

对于信号F(t)，我们有

信号F(t) 在时间里产生，却通过G(ω) 的分析得到。我们无法做到每一时刻都去做测量，但是我们把所有时间都测过之后，原来的时间信息就还原了。这里的相位因子是复数，这是因为我们不只对钢琴弦振动有兴趣，还有量子现象。关于虚数i 很难讲很多，因为我个人除了知道它的平方等于-1，什么也不知道。

5. 坐标—动量空间

更进一步的例子，除了时间—频率分析之外，波矢k 与坐标r 量纲互逆，也有傅立叶变换关系。这里用量子力学来做例子。

产生一个动量为k 的粒子需要产生一个算子，而产生一个位置处于r 处的粒子需要它们之间为傅立叶变换关系：

这是一件很不可思议的事情！只看第二式。我们通过产生一定动量的粒子，唯一的信息就是知道粒子的动量。怎么可能知道它的坐标在哪里！

实际上，我们将要知道的并非“该粒子”的坐标。我们已经有的也并非产生了“一定动量”的粒子，而是产生了所有动量的粒子：注意已经对k 积分。同样的事情发生在第一式。如下图。

假设坐标空间里，粒子被产生，所有位置都产生一个粒子。但是这些粒子并不是孤立产生的，它们之间相差一个相位。假设都按照均匀的相位差产生，某段空间间隔之后，产生的粒子又周期性的在同一状态。在r 处的粒子，和在r' 处的粒子态，仅由于空间不同，相差的相位为exp(ik(r-r' ))。这并不神秘。联想杨氏双缝干涉实验，从两个不同的孔射出的光，由于孔位置不同，两束光本身就有相位差。回到粒子态来，假设粒子A 产生于rA，B 产生于rB，A' 产生于rA', B' 产生于rB'，当rA-rB=rA'-rB' 成立时，如果AB 的相位差与A'B' 的相位差相等，而且对全空间所有的点A、B 都成立，则我们就定义了一个均匀的波数（动量）。

6. 结语

在散射谱学里，就是傅立叶变换的另一个例子。比如非弹性X-光散射，测量的光子活在时间和空间里，但是测量却很自然的做了两次傅立叶变换，使得测量的是动量q 和能量w 转移。均匀介质不发生散射，散射是由于非均匀性才导致的。大的不均匀就导致大的散射强度，比如均匀的水，清澈无比的透光，天上的云密度不均匀就发生散射。散射强度I ∝n(q,w)n(-q,w)>，n 为密度。注意这里的关联函数，仍旧是活在做过傅立叶变换的动量－能量空间里。

Discussion

Q：“我们无法做到每一时刻都去做测量，但是我们把所有时间都测过之后，原来的时间信息就还原了。”一个多道放在那里测量一年，如何根据能谱能够反推出这一年来的宇宙射线随时间变化？假定一月份过来的光子和二月份的对换，多道测得的能谱又不会变化。

A：time resolved 是时间分辨，假设我们放着多道一年不管它，测量就是对一年积分；但是如果每个月看一次，就把时间分辨率变成了每个月了！为了得到1年的能谱，可以把每个月相加，但是单单从一年的能谱里，我们却没有每个月的时间信息。time resolve 是很重要的谱学，比如即使用高纯Ge测量1小时的数据量，做实验的时候也会把它分成60个1分钟来做，这样比如第37分钟来了外界噪声，仪器发疯，我们就能从这段时间的谱来看出，然后把这个剔除掉。对于稳定源，如果能谱不随时间变化（每分钟都一样），我们就知道仪器没发疯，没有噪声，因此进一步知道测量可靠；如果只看1小时的，就不知道了。另一方面，如果要测量动力学过程，就需要让能谱随着时间变。这里傅立叶变换丢失时间信息的意思是，假设我们手上有的谱是一年的，我们不知道哪个粒子是一年中哪个月打进来的光子；如果我们的谱的时间分辨率为1个月，我们也不知道是哪一天打进来的光子。如果我们的谱的时间是1天，我们知道是哪天进来的，但是这时能谱就没有那么准确了，因为误差和1/sqrt(N)，N 很小了，误差就大了。当我们获得时间信息时，就丢失了能量信息。所以，一张准确的能谱，就要把时间信息加起来，丢掉它们，换取了能量信息。

来源：物理小识微信公众号（ID：wulixiaoshi），作者：李明达。

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