非线性问题研究中的数值实验

weixin

进入本世纪后半叶以来，人们把探索的目光投向了混沌等非线性问题，一场新的科学革命正在进行。科学革命往往伴随着实验方式的更新和实验概念的扩充。近代科学诞生的重要标志是受控实验的出现，创立相对论、量子论的物理学革命中思想实验起了重大作用。而这场新的科学革命的特点之一，便是数值实验的广泛采用。

一、数值实验的过程和特点

传统意义上的实验，即现在所称的实验室实验，是指用物质手段改变研究对象而获得关于其性质或状态的信息。这里称人们有目的地运用电子计算机来了解某类客观事物的性质或状态的实践活动为数值实验。数值实验不仅仅是求解问题的数值计算，重要的是观察模型条件和参数变化时，结果有何种相应变化。关于后者，[1]中生动地描述为“先是创造一个微小的宇宙，然后观察它的演化，然后再改动这儿，改动那儿，改动一些性质之后，再观察一遍从头开始的演化过程。”

数值实验的过程包括个3基本步骤：

1、明确数值实验目的，设计数值实验方案；

2、选择和/或编制数值计算程序，上机运算；

3、对计算机输出的数字或图形进行理论分析。

新的普适常数δ 的发现就是上述过程的一个例子。首先，费根鲍姆 (Feigenbaum) 为了找到在区间迭代映射中进入混沌带的规律，选择了一些截然不同的单峰非线性函数进行迭代；其次，在与成千上万个数据接触中他发现δ=4.6692...这个数值反复出现；最后，他用π、e、c、h、k 等已知普适常数做各种组合，以验证δ 确是一个新的普适常数。此外，他还用重整化群方法在理论上进行了论证。需要指出的是，数值实验的步骤3至关重要，计算机的大量输出，若无理论分析，难以说明任何问题。

图1 洛伦茨研究长期气象预报时的计算机打印图

数值实验具备一些独特的性质。首先，数值实验的实验对象是客观实在的理论抽象，是经过提炼的数学模型，这种抽象的实验对象往往能突出客观实在的特性。例如洛伦茨 (Lorenz) 在研究长期气象预报的困难所在时，并不直接以大气现象为实验对象，而是针对经截断的流体对流模型进行数值实验，发现了后来所称的“蝴蝶效应”，从而揭示了长期气象预报的不可能性。

其次，数值实验中的实验条件可以较精确地加以控制。近现代科学中的实验都是受控实验，需要对实验条件进行控制。实验室实验由于外界随机噪声背景的干扰和各类测量性误差的限制，因而很难实现严格的控制；在数值实验中，实验条件即是所研究数学模型中的各种参数，因而可以达到很高精度的控制，这在非线性问题研究中也是非常必要的。例如在描述外周期力作用下不含扩散项的三分子反应的布鲁塞尔 (Brussel) 振子模型中，有4个参数，外加2个初值，只有在数值实验中才可能分析某个参数对模型混沌性态的影响。

最后，数值实验的一个特点是实验所需的人力物力较少，实验周期短，实验过程与结果可以存盘长期保存，实验也易于重复检验。这些都是实验室实验无法比拟的。

二、数值实验的作用

在非线性问题中，由于理论不完备，实验室实验难度较大，因此数值实验起着非常重要甚至是不可替代的作用。这些作用主要表现在以下几个方面。

图2 用牛顿迭代求根公式求解x4-1=0时在复平面上形成的复杂边界

数值实验在非线性问题研究中的一个突出作用是发现新现象。截断对流模型呈现的非周期运动、非可积非遍历的非线性耦合双振子系统从周期运动到随机运动的过渡、无碰撞液体中的孤立子、单自由度非线性振子貌似随机的混乱定常运动、2维映射中的奇怪吸引子、单峰非线性闭区间迭代由倍周期分叉到混沌的普适常数δ 和α、复平面上迭代映射形成的分形集，以及迭代求根公式中不同根吸引区域的复杂边界，诸如此类的大量新现象都是由数值实验发现的，这已成过去20余年来非线性问题研究的重要特色。

数值实验在非线性问题研究中的另一作用是补充理论结果，数值实验可以使一些理论结果定量化。例如在采用渐近法或摄动法等近似解析方法研究非线性问题时，其结论往往仅当问题中某个小参数ε 充分小时才适用，对于特定问题，只有用数值实验才能定量地确定出ε 的容许范围。数值实验还可以揭示理论结果中有关条件不成立时将发生的情况，如著名的KAM定理条件不成立时的混沌图像便是由埃农 (Hénon) 和福特 (Ford) 等人进行大量数值实验而得到的。

数值实验还可以借助具体直观来提供启示，激发灵感。这种作用早在电子计算机问世之前就在数论及低维几何和拓扑等数学分支中显示，高斯推测素数定理就是一例。现代计算机及其图形显示技术使得数值实验能更有效地发挥这种作用。例如完成曼德尔布罗 (Mandelbrot) 集连通性证明的哈伯德 (Hubbard) 后来回忆，在仔细观察计算机描绘的图案数小时后，他认为曼德尔布罗集是连通的，有了正确的结论便大大减少了证明的困难。此外，计算机绘出的各种美丽图形也能更广泛地引起研究者的兴趣，突出的例子是分形的研究。虽然早在20年代就由朱利亚 (Julia) 开创了复平面迭代的研究，后又有当代数学大师阿尔福斯 (Ahlfors) 的参与，但仍因有关图形无法用纸和笔绘制出来而不得不偃旗息鼓。直到70年代末曼德尔布罗用计算机绘出先前仅在研究者大脑中有想象的图形，才使分形研究受到普遍关注。

图3 曼德尔布罗集的局部　　

像实验室实验一样，数值实验还有检验理论结果的作用。有人甚至认为“数值计算一般可以是理论分析的最终检验”。早在混沌等非线性问题研究热潮兴起之前，费米 (Fermi) 等人就曾用数值实验针对非线性振子耦合链的动力学行为检验了波尔茨曼 (Boltzmann) 遍历性假设，结果该系统并没有出现假设所预言的情形，从而知道遍历性并非是不可积动力系统的普遍性质。大量非线性问题，如同一偏微分方程的两个孤立波相撞后是否保持其形状不变从而具有孤立子的特征、阵发混沌与倍周期分叉的关系、倍周期分叉序列或MSS普适序列在微分方程所控制系统中的实现等，均可用数值实验进行检验。数值实验甚至还有可能证明定理，曾将费根鲍姆的有关结论在计算机辅助下予以证明的兰福德 (Lanford) 正在努力使数值实验成为严格证明的方法。

三、理论在数值实验中的作用

现代科学哲学已提供大量的论证和实例表明实验是不能脱离理论的，数值实验作为一种特殊的实验，理论在其中起着更重要的作用。

数值实验的全部过程都是在理论的指导和配合下实现的。数值实验的对象（数学模型）本身便是理论研究的产物，数值实验的目的（发现什么、验证什么等）都直接或间接地与理论的发展有关。编制和实施计算程序要用到计算数学理论，分析处理计算机输出更需要有较高的理论素养。

理论在数值实验中的作用还表现在，数值实验的结果要得到充分重视必须有理论研究的背景，回顾一些重要的数值实验被忽视的史实便可以清楚地看出这一点。仍以费米等人的耦合非线性振子数值研究为例，这是最早的一个重要数值实验，现已公认它的结果是对当时物理学基本观念的挑战。它一方面否证了遍历性假设，另一方面也是现已渗透到数学物理每个分支的孤立子理论的开端。但由于当时的理论研究背景，费米等人也仅将它当作反常的个别现象未予以深入研究，有关论文也没有正式发表，10年后才收入费米的全集，近20年后在孤立子研究热潮中重新发表。[1]中记叙的有关混沌的一些数值实验亦有类似命运。

理论研究与数值实验又是互相补充的。例如在研究连续流动搅拌槽反应器数学模型分叉问题中，厄帕尔 (Uppal) 等人在进行大量数值实验的基础上给出了系统的5种局部分叉图，戈卢比茨基 (Golubitsky) 等人应用奇异理论予以证实并发现2种新的分又图，他们还指出这些局部结果有可能推广到全局，巴拉科泰亚 (Balakotaiah) 等用数值实验验证了上述理论结果可以推广到全局。这种从数值实验到理论分析再到新的数值实验的研究模式，在非线性问题研究中有着广泛的应用。

综上可知，与实验室实验相比，数值实验与理论的关系更为密切。就数值实验的性质而言，诚如埃农所说：“数值实验是名副其实的实验，要用实验物理学家而不是数学家的心态描述和评价。”但就其实施过程而言，则更接近于理论研究。可以认为数值实验的出现在一定程度上淡化了实验研究与理论研究的差别。

四、数值实验的局限性

任何方法都不是万能的，数值实验也不例外，它也有自身的局限性。

数值实验的局限性首先表现在它完全依赖于问题的数学模型。若尚无令人满意的数学模型，如地震过程，数值实验便无能为力。若数学模型非常复杂，如湍流，数值实验所能起的作用也是很有限的，特别是在大雷诺数的情况下，计算量之大使得即使是大尺度精确模拟也不可能，只能借助于大涡模拟等一些特定模式。

必然存在的误差也反映了数值实验的局限性。即使不考虑建立模型本身时的误差，数值实验也不可避免地存在着截断误差和舍入误差。数值运算如积分、求导、级数求和等极限过程，都是强制性近似的，无限多位的实数是通过有限位的截尾数来近似的。已有的相同数学模型采用不同算法或在不同机器上运行得到定性相异结果的报道表明，数值实验结果同计算方法和工具有关。斯帕罗 (Sparrow) 在对洛伦茨方程的系统研究中，谨慎地将大多数数值实验在不同的计算机上用不同的算法进行，这对于克服误差产生的局限无疑是必要的，但仍不是充分的。

数值实验的局限性还表现在对计算工具有相应的技术要求，如运算速度、存储容量、机器字长、绘图设备等，因而一些令人感兴趣的数值实验，如奇怪吸引子随参数或初值变化的动态显示，实施时仍有相当困难。

数值实验的有限性也是一种局限。除上述精度的有限性外，其实验范围也是有限的。当数学模型中变量取值范围为无限时，数值实验便缺乏稳固的基础。例如数值实验出现了混沌的时间历程时，并无充分的理由排除这种非周期的时间历程可能仅是某周期很长的周期时间历程的一部分。数值实验往往不得不假设在一定条件下，有限的部分能够表明无限的整体的特征。

最后，数值实验归根结底是个案研究，它的结果实质上是一种特定方程针对其特定参数和初、边值条件的解。即使没有上述诸局限，它也仅能证明一般性的理论结果，而不能证实。相当多的数学家对兰福德等人发展的计算机辅助证明持保留态度并非全无道理。由此也可知，在数值实验蓬勃发展的近20多年中，动态系统和奇异性等拓扑和几何的定性理论也有重大进展并广泛应用于各类具体问题，绝不仅是时间上的巧合，这恰是对数值实验局限性的一种补救。

数值实验存在诸多局限，故数值实验者应意识到“虽然模拟是有用的工具，但模拟数据必须要仔细诠释，用直观和理论加以检验，并且仅仅用于它所适合的目的。”（蔡少棠语）

参考文献：
[1] 卢侃, 孙建华编译. 《混沌学传奇》, 上海翻译出版公司 (1991).

来源：陈立群科学网博客，作者：陈立群。