非线性声学发展概况

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在线性声学范围，声场满足齐次波动方程，它是将基本方程组如运动方程、连续性方程以及能量方程线性化而得到的，它只在相对形变充分小的情况下才成立。对于均匀热力学系统的无限流体而言，介质质点速度v，压力P，密度ρ 和温度T 满足基本方程组（其中包括静态量和动态量），一般说来，3个方程皆为非线性的。仅当马赫数很小以及它们的热力学静态量远大于动态量时，才能化为线性问题。求解这类问题所常用的方法是微扰法，为了保证解的收敛，它要求微扰参数比1要小得多。合并这些方程可以得到著名的Lighthill方程。

Lighthill 方程是非齐次的，这表明它是有源的，即当介质被扰动之后，其中出现了分布性的声源，这是线性声学与非线性声学的一个重要区别，通常应用微扰法求解它。演算结果表明，二阶场的声源是一阶场的两两乘积项。同理，三阶场的声源是一阶场与二阶场的三次乘积项，以此类推到更高阶场。对于简谐振动，满足源条件的一维解为

式中，ε 是非线性系数，k=ω/c0 为波数，ρ0为介质的静止密度。上式表明，二阶量，ρ(2)正比于离声源的距离x，这是由于扰动了的介质产生了分布声源，它们在非频散介质中以相同的波速向前传播而同相叠加，因而与距离成正比，通常将这种解叫做积累解。

通过在介质物态方程里保留二阶小量，代入运动方程推导出精确到二次非线性项的波动方程，下式更高项已忽略。

利用微扰法得到高次非线性部分Φn

n 次的非线性声场是由低于n 次的线性和非线性声场的贡献。在大振幅条件下，这些高阶成分将在声场中不能被忽略。

当两个不同频率的波在介质中传播时，如果只考虑线性传播则两声波互不干扰，独自传播，如果考虑到二次非线性部分，则包括四部分，即2ω1、2ω2、ω1±ω2，表明二次非线性部分包含倍频、和频和差频，它们的幅度都随距离增加。这是一个重要的非线性现象，在更高次的非线性部分可以包括如∑njωj 的各种频率，其中nj 是整数。

非线性产生的差频声波的原理可以用于低频探测问题。低频声衰减小，传播距离远，在探测应用中有独特的优势。但是许多应用场合对声源体积有限制，而体积太小的低频声源指向性差，效率低，达不到探测的要求。为了解决这个矛盾，可采用差频原理，用比较小的换能器在相同的方向发射两个频率比较高的强声束，由于频率高，因此换能器的体积比较小，同时又有很好的指向性。由于非线性效应，这两个声束在传播中会产生差频波。如果合理地控制发射频率，就可以得到理想的低频差频声波，传播到比较远的距离。

这样，在大振幅条件下二阶小量不可忽略，产生了波的非线性效应，同时由于介质密度（体积）的变化较大，伴随的吸收效应也不可忽略。当压缩或膨胀时，像处于任何的、急剧的状态变化中一样，流体中的热动平衡被破坏了，因而开始其内部过程，并重新建立这一平衡。通常，这些过程是非常迅速的（即弛豫时间很小），以至于这一平衡的建立实际是紧跟在体积变化之后立即完成的。

也存在这种情形：即物体中建立平衡过程的弛豫时间很长，亦即这些过程进行的相当缓慢。例如，流体压缩时，平衡状态即被破坏，反应开始发生，结果物质的浓度将取得与密度（及温度）的新值相应的平衡值。如果这一反映的速度不太大，则平衡的建立比较缓慢且赶不上压缩变化。此时，与压缩过程相伴发生的便是引向平衡状态的内部过程。但建立平衡的过程是不可逆过程；与之同时发生的是熵量增加，因而发生能的耗散。因此，如果这些过程的弛豫时间长，则当流体压缩或膨胀时便会发生显著的能耗散。由于这种耗散必须由第二粘滞率决定，所以我们得出如下结论：即ζ 将是很大的。耗散过程的强度以及与它相伴的物理量ζ ，要依赖于压缩与膨胀过程的速度和弛豫时间。例如，说到因声波而致的压缩与膨胀，则第二粘滞率将依赖于波频。因此，第二粘滞率不仅仅是表征所给物质的一个常数，而需依赖于它呈现时的运动频率。

另外，还有一个典型的非线性声学现象就是空化现象。理论上讲，纯净的液体分子结合力很强，因而具有极高的抗拉强度。但通常实际液体因种种原因而混入一些微小气泡，构成了液体的“薄弱环节”，当交变声压形成的负压足够强时，液体将首先在这些“薄弱环节”处被拉开，从而形成空腔并长大；继而在接着到来的正压作用下空腔将被压缩，进而快速闭合。液体中存在的微小气泡称为“空化核”，液体产生空化所需的最低声压或声强幅值称“空化阈值”，空化阈值只表明用超声波产生空化的难易程度。

影响超声空化阈值的因素，国内外学者进行了大量的研究发现：对不同性质的液体，与其表面张力系数、密度、饱和蒸气压、粘滞性相关；对同一种液体与其温度、静压力、含气量、含杂质程度等因素有密切关系。另外，在液体状况均相同的情况下，空化阈值随辐射声波的频率、波型（连续波或脉冲波）、波形参数（脉宽及重复频率）、声强度及声场的性质而变化。气泡运动方程为，

式中，Pi为气泡内部压力，ρ 是液体的密度，P∞是液体中无限远处的压力，当水中含有小气泡群时，由于其显著的吸收和散射作用，声波通过这种气泡群后，会产生很大的衰减。气泡在入射声波作用下作受迫振动时，不是严格的绝热过程，在气泡压缩、伸张过程中，气泡和周围水介质会产生热传导作用，致使部分声能变成热能而传至周围介质中。另一方面，由于流体的粘滞力作用，气泡振动时，水介质与气泡面之间的摩擦也使一部分声能变成了热能，以上两种过程，组成了气泡对声波的吸收作用。

非线性声学应用在接收上，就是参量放大接收的基本原理。在这里，待测的低频信号波作为非线性互作用的原波之一，而在本地用一个泵换能器T 辐射一高频泵波波束。由信号波和泵波在共同作用的区域内作非线性调制，产生和频波及差频波源，于是在泵波声轴上用水听器H接收差频波或和频波（用晶体滤波器滤掉泵波），从而检测出低频信号。虽然信号波的波长很长，接收换能器很小，但只要与发射器的距离L 比信号波的幅度随入射波的角度θ 变化很灵敏，就可得到低频、高指向性的接收。

例如：泵波声压为

式中，p10 为r0 =1米处的声压幅值；D(γ) 为辐射器的指向性函数；α1和k1——泵波的吸收系数和波数。

设信号源离接收点很远，入射波近似看作为平面波，入射方向与xoy 面平行，且与泵波声轴交角为θ 。信号波表示成

如果取D(γ) =1，得到接收点的声压为

接收阵指向性函数为

在介质中，波之间非线性效应的参量放大，实际上是有源的声学放大。接收的差频（或和频）声压与信号波声压之比，可以定义为参量放大量。即

式中，r0=1米。参量接收阵作为有源声学放大，实际上是通过泵波的作用将泵波功率转换成有信号波调制的差频（或和频）波的功率，虽然这种转换效率不高，但是它还是可能比远距离传来的弱信号的功率要大。不过，既然是由f1 转换到f1±f2的过程，所以这时接收的信噪比要有损失，因为原来信噪比只决定于f2频率附近的噪声谱级，可是现在除了原信号附近谱级的噪声转换到高频接收之外，还有高频的谱级噪声也要接收进来。因此，当采用参量处理以后，提高了指向性的锐度，但损失了信噪比，应选用合适的泵波频率、泵辐射功率，以及换能器孔径尺寸等。

来源：通过检索发现，文章最早发布于百度文库《非线性声学发展概况》，由用户dongleixf分享。​​​​​​​​​​​