鸡蛋的直立及潜体的平衡

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蛋壳没有显著的接触变形，难以在坚硬平面上直立，但依赖两三个细小盐粒的辅助支承即可实现大端直立。潜体在重力、浮力和支承力作用下处于稳定平衡时，势能达到极小值。

  竖鸡蛋   

竖蛋牵涉到刚体的稳定问题，文[1特别予以介绍，称“实际的鸡蛋壳表面并不光滑，粗糙的尖端存在许多突起的小点与桌面接触，这些接触点围成一个很小的区域。鸡蛋的重力只要不越出这个区域就能直立不倒”，与Wikipedia所述类似[2。

不过，肉眼或小倍放大镜下看，蛋壳表面并无突起。而单凭“足够耐心”也不足以竖直鸡蛋，至少还需手指极端敏感。这些只要亲手一试，就能知道。网上有小学生的相关作文，都是没有成功[3,4。笔者和家人也曾多次尝试，未能成功。

刚体以表面一点稳定支承的条件是，支承点处法线通过质心，而曲率半径大于质心高度，或称质心高度、质心与支承点距离达到极小值[5。考虑轴对称性，鸡蛋有4个平衡位置，其中对称轴两端点是不稳定的。蛋壳具有一定刚度，不会产生显著的接触变形以增大支承面积。

当然，地面、刀板上微小凹坑或桌布变形，鸡蛋能够以大端直立。wikihow 所说“Make a small mound of salt on a hard，smooth, level surface；carefully balance the egg on top of the salt，then gently blow the excess salt away”[6也确实可行。试验表明，只要竖直鸡蛋，轻轻前推，受阻即止，尺度不足0.5mm的两三个盐粒即可实现鸡蛋的大端直立作为参考，若鸡蛋大端曲率半径15mm，0.3和0.1mm的高度所提供的支承距离分别为3和1.7mm，可以维持鸡蛋的稳定。又，盐粒尺度较小且硬度较高，因接触应力而粘连嵌入蛋壳，并不显眼，从而竖蛋可重复进行，且颇为容易。不过，这无疑是作弊行为。

鸡蛋大端的气腔因薄膜而大致固定，其体积随储存时间而增加，可以手电或蜡烛等小光源检查 (candling)。因而吃蛋时该先敲大端似乎是合理的习惯，《格列佛游记》中小人国就此发生争论乃至战争。气腔使鸡蛋的重心偏离大端，从而更难以在平面上直立。笔者觉得，经水洗、干燥后的鸡蛋，似乎不能直立在干净玻璃、抛光石材或较好木桌的表面上。显然，不稳定的平衡位置难以真实出现。

  水中竖鸡蛋

好蛋比重大于1，在水中不能浮起，需要容器底面的支撑力才能平衡。鸡蛋的重心与浮心都在对称轴上，但并不重合，浮心比重心更靠近大端。

若以大端支承，鸡蛋稍偏离竖直位置之后，因重心在上，且重力大于浮力，必然继续偏离。显然，以大端支承不是稳定平衡。

图1 鸡蛋水中竖直平衡的稳定条件

以小端支撑，浮心B 在上、重心W 在下，均高于小端的曲率中小C。记浮心、重心W 至小端距离为LB 和LW，小端曲率半径为r。若支承点P 微小扰动偏离，轴线与竖直方向夹角为δ，而法线仍通过曲率中心C（图1），则鸡蛋稳定平衡的条件是存在回复力矩：

即

这等价于浮力与重力的合力作用点距小端距离小于r。试验表明，水对鸡蛋的浮力不能满足上式，实际稳定平衡位置如图2所示，轴线与水平面的倾角θ 约为30°，小端在下。浮力FB 和重力FW 关于支承点P 力矩平衡。

若鸡蛋从从平衡位置发生微小变动，轴线与水平面的夹角变化dθ。为图面简洁起见，图2中将水平线转置‑dθ 而保持鸡蛋位置不变。扰动后的支承点处法线同样通过曲率中心C，其在轴线上截距产生dS的改变；而浮力和重力的力臂将同等减小cosθdS。因重力大于浮力，重力矩减少多于浮力矩的减少，引起回复力矩。

图2 潜体的稳定平衡条件

依据上述分析可以知道，上式计算的力矩M 随倾角θ 增大而减小（逆时针为正）。浮力较大时，力矩M 较大，稳定平衡位置的倾角较大；当浮力满足回复力矩之后，稳定平衡倾角增大到90°，即鸡蛋的小端。

加入食盐可增加水的比重，从而增加浮力，鸡蛋稳定平衡的倾角将增大。鸡蛋没有完全浮起也可以处于竖直状态，大端在上。农村晒酱时以鸡蛋在盐水中的姿态判断其浓度，不过，鸡蛋之间存在差异，其可靠性值得怀疑。

  潜体的平衡  

点O 为浮心、重心连线与支承面的交点，记图中距离OW=lW，OB=lB，lW 和lB的改变量相同，记为dl。支承面为势能零线，势能

从图2可以看到

于是

由于M 随倾角θ 增大而减小，上式总是非负。因而力矩平衡的条件就是势能达到极值，稳定平衡就是势能极小值。上述推理过程并不需要轴对称的条件，完全可应用于一般刚体。

     结  语    

鸡蛋大端存在气腔，壳体较硬没有显著的接触变形，因而干净鸡蛋难以在坚硬平面上直立。不过，依赖两三个尺度小于0.5mm盐粒的辅助支承即可实现大端直立。

刚体固定于一点，质心在悬挂点下方时稳定平衡，势能最小；刚体位于支承面之上，势能极小时稳定平衡，等价于重心与支承点的距离达到极小值[5。

浮体的浮心高于重心，与刚体悬挂类似；浮心低于重心，浮心曲线相当于刚体的轮廓线，稳心相当于曲率中心，达到稳定平衡时，重力和浮力构成的势能极小或重心与浮心的距离极小[7。浮心就是支承点。

潜体的稳定平衡条件也是势能达到极小值。

参考文献：

[1] 刘延柱. 立春时节话竖蛋[J]. 力学与实践, 2013, 35(1)：97-98

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Egg_of_Li_Chun

[3] http://epaper.cnxz.com.cn/pcwb/html/2011-07/02/content_564813.htm

[4] http://www.dysyxx.net/webs/class ... eRead.aspx?ID=15870

[5] 刘延柱. 不倒翁、乌龟翻身和冈布茨[J]. 力学与实践, 2010, 32(2)：147-149

[6] http://www.wikihow.com/Balance-an-Egg

[7] 谢建华. 关于浮体的平衡与稳定[J]. 力学与实践, 2010, 32(5)：77-80

来源：尤明庆科学网博客，作者：尤明庆 河南理工大学教授。