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[基础理论] 乘风破浪的流体力学大师

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发表于 2020-6-23 13:09 | 显示全部楼层 |阅读模式

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某一天吃罢午饭,与艾伦和艾达两位同事在滨江步道小散几步。他们谈起自己见到的几位港星和日本星,问我是否认识,我只能呵呵了。除了各种星,我熟悉的名人也不是那些有钱的人,王石开什么公司,许家印最近在干啥,马云双11赚了多少,这些问题我也不感冒。也可能正因为如此,穷且益艰往往是本人的自画像...

有一次在办公室麦克Z突然说我很会讲故事,这句话怎么理解都可以。反面的意思是说我迂腐,喜欢忽悠。也可以正面理解成说话有条理,某些事情点破不说破。

提到了名人,也提到了故事。那么我倒是很想讲一串名人的故事,这些我熟悉的名人穿插了两三个世纪,给人类建立了理论流体力学和应用流体力学大厦。几个世纪的故事,瑕疵是难免的了,本篇取名野史就是希望各位正史爱好者们见谅。

1.五帝本纪

我的流体力学启蒙始于大学化工原理的王国胜老师,书中化工管路流动损失计算用到伯努利方程。

伯努利这位老大哥在日常实验中发现管路里面速度大了相应的压强就会降低,善于记笔记的他在1738年出版水动力学书本时正式提出了流体速度与压强呈现反比的关系。遗憾的是受限于自己数学语言不是很强悍,没能给出具体公式。就写信给附近的数学小王子欧拉助攻一下,在1752年给出了明确的数学公式。

伯努利方程阐明了流体静压(势能)与速度的平方(动能)可以相互转换,在光滑管路内两者的总和处处相等。工程中管路流动、空中的飞机飞行都离不开伯努利公式。前年老家修自来水,我提出从山顶直接引农夫山泉到家,但是老大哥们感觉中间加一个开口的水塔会更加刺激,其实这样会中途损失水的势能导致自来水流动慢。当时我想甩一个伯努利方程给他们看,可惜他们都不认识这个人,所以最后自来水流速不够,乡亲们日常生活中也就只能忍受特别慢的农夫山泉了。
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图1:伯努利方程

数学小王子可能觉得伯努利方程只用到了初等数学,逼格不高。于是施展乾坤大挪移把伯努利方程从初等数学一下子拉到微积分层面。升级成伯努利方程2.0版本:欧拉公式...这个公式讲的是动量守恒和质量守恒两个事情,欧拉巧妙的把守恒概念植入到流体力学之中,后世流体力学研究无论时空如何变化,守恒终生相伴。。。
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图2:欧拉公式

一七八几年,两位老伙计携手相继离开地球了,来了一个数学界的潘多拉:柯西。看着伯努利一维初等方程,到升级版的三维微积分欧拉公式还不够过瘾,本着欲练此功必先xx的态度,发布了九维张量方程:柯西动量定理。。。。

九维张量是个啥水平?你学了初中数学就可以理解一维伯努利方程,上完同济版高等数学也能对三维欧拉公式有点感觉,但是通透的理解九维柯西张量方程估计得博士水平了,而且是头发没剩几根的那种。当然柯西本人也掉的差不多了...
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图3:柯西动量定理

柯西这个潘多拉带来了九维张量,可以分解为欧拉方程中三维压力和其余六维剪切应力。这个剪切应力就好像林家的辟邪剑法,很难破解。后来纳维和斯托克斯两位数学家发现这个剪切应力跟流体扩散现象有一腿,因此两位一起集成了两个克服辟邪剑法的绝招:粘性和散度。通过粘度和速度散度的乘积就可以得到剪切应力。

流体粘性早在100多年前就被牛顿基于实验验证,但是欧拉方程局限于三维空间无法体现粘性,因此欧拉方程也称为无粘流体方程。纳维和斯托克斯首次将粘性植入到流体方程中,从此流体力学方程终于包含了粘性的本性。

纳维斯托克斯方程偏微分属性太强,两位老前辈创作了一门绝世武功,这门武功的特点是纳维和斯托克斯都不知道如何破解自己的武功。他俩活着的时候也没看到有人能够给出解析解,到200年后的今天也还是没有。2000年美国克雷数学研究所将该方程列为七大千禧年大奖难题,谁能给出解析解便奖励一美金。
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图4:纳维斯托克斯方程

有了绝世武功,就有人想破解这里面的秘密。由此就演变成了两派,熟悉金先生《笑傲江湖》的读者可以理解成华山的气宗和剑宗。华山气宗觉得剑法要先练气,然后将自己的气汇聚到一些特定招式的剑法中,就能练成君子剑。剑宗则推荐不要拘泥于剑法招式,要先看透剑法的本质然后融会贯通。令狐冲前期就跟着岳不群练气宗的华山剑法,后期偶然学了剑宗传人风清扬的独孤九剑。

在求解纳维斯托克斯方程中也分成了两大求解阵营。第一阵营主要基于宏观流体实验数据归纳总结,然后建立一些模型来近似求解。第二阵营主要是通过对微观世界天马行空的想象来建立万物共性规律,最终实现直接求解。

2.宏观求解演义:实验归纳

1842年,诞生了一个叫雷诺的英国人。他观察不同管径不同速度流动现象,通过归纳总结发现管内雷诺数一旦超过某一个临界值后,水流就会出现紊乱现象。1883年雷诺发表文章描述这个实验并提出层流和湍流概念。层流和湍流都是流体粘性的宏观表现,雷诺将纳维斯托克斯方程中的粘性投射到宏观的具体流动过程。这样就可以通过实验归纳法来建立粘性的数学模型。
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图5:雷诺实验

雷诺首先提出了求解N-S方程的思路,将瞬态的速度分解成随时间统计平均速度和脉动速度。这样基于瞬态速度的N-S方程就转变成描述时均速度规律的时均N-S方程,但是还有一个后娘养的脉动速度甩不掉:九维张量雷诺应力。
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图6:RANS模型

脉动速度在流动中最直观的表现就是漩涡,因此雷诺应力简单理解就是漩涡对流动的反向作用力。1877年,和雷诺同一年出生的布西内斯克假设漩涡也具有粘性特质,并且假设九维雷诺应力等于漩涡粘性乘以流体的变形量。这样求解九维的雷诺应力就被化解成求解一维虚拟的涡粘系数。如此看来,布西内斯克在武侠世界中练的是化功大法。
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图7:涡粘模型

布西内斯克正愁着自己提出的虚拟货币变现问题,一向务实的德国土财主普朗特带着混合尺度模型直接将他的虚拟货币完全套现。至此雷诺应力可以求解,基于雷诺平均的纳维斯托克斯方程(RANS)也终于有了适合工程应用的近似解。

但是大家在破解RANS方程实践中发现破解边界流动异常耗费精力。普朗特又拿出可以拍星星的华为P30手机拍摄了很多流体在壁面附近的流动现象,在1904年提出流体在固体壁面附近的分层现象以及简化N-S方程:边界层方程,使得N-S方程在壁面附近的求解明显上升。
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图8:混合尺度假设和边界层方程

3.微观求解演义:天马行空遐想

介质在微观世界中可以认为是由无数的颗粒组成,这些颗粒之间时刻在发生相互碰撞。这些碰撞过程不仅我们的眼睛分辨率不足以观察,即使能拍星星的华为P30手机也不能够。既然看不到无数个微观分子的碰撞过程,那就先借鉴一下牛顿大帝300多年前球体的碰撞理论。

说到牛顿,他给我们的感觉就不是来自地球的物种。他首先在数学上描述了两个光滑硬球碰撞,并提出了动量和动能守恒定理。

基于牛顿的球体碰撞逻辑,如果把微观世界中每一个分子的速度信息都掌握起来,那么宏观世界的粘度,压力和其他的宏观热物理属性就瞬间了然了,因为温度和压力就是特定动能的粒子束基于特定的碰撞频率在边界上进行碰撞的宏观表现。这就像风清扬传令狐冲独孤九剑的时候让他要尽量的忘却以往特定招式,只需建立一个无招胜有招的感觉。
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图9:动量/动能守恒定理

无招胜有招,说着容易做起来难。基于以上分子动理论计算过程需要确认每个粒子在空间位置的速度和速度分量,并且计算时间步长也需要小于粒子的碰撞频率(1E-12s)。如此庞大的计算量使得分子动力学无法处理大尺寸问题,因此需要统计数学方法来桥接微观和宏观世界。上帝首先派麦克斯韦来解决这个问题。。。

麦克斯韦觉得研究分子在三维空间复杂分布是走进了死胡同,把关注点换成运动分子在不同速度分布的概率就好办多了。于是他巧妙的把一个三维问题降低到一维问题,由此在1859年提出了麦克斯韦速度分布方程。可见牛人总是善于把复杂的问题简单化,蠢人嘛,此处省略八个字。
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图10:麦克斯韦速度分布定理

麦克斯韦随后忙着研究电磁理论去了。上帝这次又派玻尔兹曼来进行收尾工作。玻尔兹曼总结了麦克斯韦分布方程,发现这个想法很值得好好搞搞,并首先意识到热力学中熵增现象与统计学概率状态的关系:系统内熵增过程对应微观尺度内分子分布趋向最大概率分布现象。

玻尔兹曼随后提出的统计力学解释并预测微观原子和分子的行为如何决定宏观物理属性,例如粘性、热导率和扩散系数等。值得一提的是,这些物理量之前研究中多是通过大量实验数据归纳数学模型来近似计算,整个研究过程更是从雷诺一直跨越到普朗特。然而玻尔兹曼从微观世界入手,一人基于统计力学徒手得到了宏观物理量精确计算方法。所以说玻尔兹曼带着人类穿越了微观分子世界与宏观流体世界,架起了一座连接微观与宏观的介观尺度桥梁:玻尔兹曼方程。
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图11:玻尔兹曼方程

由于太多过于前卫的想法不被同时代的科学家承认,玻尔兹曼在1906年抑郁自杀。是年,清朝正式废除科举制...

以上两种求解流体力学的方法随着计算机的发展,分别发展成了有限体积法(FDM) 和格子玻尔兹曼方法(LBM)。后世关于涡粘模型又衍生了很多湍流模型,例如k-e,k-w,LES,VLES等等。基于FDM方法的求解器源于实验归纳,对很多工程流动问题求解中非常高效。基于LBM方法的求解器源于微观概率统计,近年在很多FDM无法求解的复杂问题领域独领风骚。

最后,仅以此文缅怀给我饭碗的流体力学前辈们...
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发表于 2020-6-24 08:58 | 显示全部楼层
写得好,建议谢谢弹塑性力学,谢谢
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