结构动力学基本认识

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一、基本内容
动力学分析主要包括模态分析、谐响应分析、瞬态响应分析、谱分析四个方面的内容。主要应用在高速旋转、往复运动、碰撞等的机械或者结构分析。此外，包括承受动力载荷作用的情况，以及波在介质中的传播问题。

二、动力学分析基本方程
动力学分析的基本方程与结构静力学基本一致，不同的地方在于力平衡方程中加入了惯性力项和运动阻尼项。分别是：平衡方程、变形协调方程、物理方程。需要说明的是物理方程可以包含非线性的属性，但是在模态分析、谐响应分析中将自动忽略非线性特性。此外包含对于边界条件、初始条件的处理。

1. 平衡方程
利用达朗贝尔原理将惯性力和阻尼力等效到静力平衡方程中，有

其中，ρ 为密度，μ 为阻尼系数。

相对于静力分析问题，此处主要引入了惯性项或阻尼项，惯性项通过利用达朗贝尔原理引入，该操作使得一般的代数方程直接提升了2阶，成为2阶方程。因此，将带来求解方法与静力方法有很大的区别。

2. 几何方程

此处的变形协调方程中应变是近似真实应变，无穷小应变形式，当考虑到变形等情况时，可根据实际情况，选择合适的应变表达形式。

3. 物理方程

其中，Dijkl 为弹性系数矩阵。当非线性特征需要被考虑时，相应的系数矩阵将发生变化，相应的物理方程形式也将发生改变。

4. 边界条件
位移边界条件为：

力的边界条件为：

5. 初始条件

三、虚功原理
通过基本方程建立求解表达格式的方法有很多，主要包含等效积分法、变分原理。加权余量法、虚功原理是基于等效积分法的原理的，本文介绍虚功原理方法。

对该方程右端第一项进行积分，并应用高斯-格林公式，整理得，

四、有限元格式
通过将单元的各个矩阵进行组装，可形成系统的整体有限元方程，即，

其中M，C 和K 分别是系统的质量、阻尼和刚度矩阵，R 是外荷载向量。上式是通过考虑在时刻t 的静力平衡而推导出来的。

具体的有限元格式推导方法，不在本文阐述。

来源：航信CAE分析微信公众号（ID：HangxinCAE），作者：航信。