查看: 44|回复: 0

[综合讨论] 声速公式的推导和含义

[复制链接]
发表于 2020-6-29 14:50 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?我要加入

x
1.png
从十七世纪开始,人们为声速的测量做了很多努力,主要使用枪炮声进行测量。

导  读
本篇文章简单介绍历史上为了测量和计算声速的努力,以及声速公式的推导和含义等。

01、声速的测量

因为声音的速度并不是很快,人们从很早就知道声音的传播是需要时间的,并尝试测量声速。

早期的声速测量其实都是在比较光速和声速,一般都是用枪炮来同时发出光和声音,在较远的距离测量闪光和爆炸声的间隔时间来计算声速。鉴于光的传播时间完全可以忽略,且枪炮声基本上是与一般声音的速度相同(实际上比一般声音稍快),这种方法是没有问题的。在克服了计时装置的简陋、风以及空气的温度和湿度等的不确定性影响后,在十八世纪后半叶,声速测量值的误差已经缩小到了0.5 m/s 以内。
2.png
▲ 用枪炮声和计时装置来测量声速的方法存在诸多误差,最大的误差来自计时误差和风速误差,空气湿度也有影响。另外,枪炮声在一开始是较强的爆炸波,速度比一般声速要快一些,不过爆炸波呈球面扩张,迅速衰减成速度接近一般声速的弱激波,只要在距离枪炮足够远的地方测,这种因素带来的误差并不大。
3.png
▲ 测量声速的努力持续了几个世纪,在牛顿时代,声速的测量精确度并不令人满意,到1800年左右,声速的测量精确度已经足够高了。

要消除大气环境中的风速以及空气不纯净等影响,更精确的测量必须在实验室内进行。测量方法则更多地利用了声波的特性,用波长和频率等来计算声速。1942 年,宾夕法尼亚州立大学的研究者们使用声波干涉仪得出了一个大气压、0℃下的干空气中的声速为331.45 m/s,这是目前广泛使用的声速标准值。1984 年有人发现了其中的一个数学错误,并把该数值修正为331.29 m/s。采用现代声速公式计算出的同等条件下的声速为331.60 m/s,与实验值有千分之一的误差。实际上,声速的理论公式和实验结果都不是完全精确的,很难说哪个更合理。

02、声速的计算

第一个从理论上推导出声速公式的是牛顿。他在1687 年出版的《自然哲学的数学原理》指出,声速取决于空气压力随密度的变化。并应用等温条件得出了声速的数值为295 m/s,这比当时的测量值低了20%。数学家欧拉和拉格朗日都曾经进行过声速的推导,得出了和牛顿差不多的结果。

1802 年,拉普拉斯指出,声音的传播过程中伴随着气体的轻微的压缩和膨胀,温度会有变化,并不是个等温过程,而是一个绝热过程。1823 年,拉普拉斯采用当时空气热特性的测量数据,计算出声速为337.15 m/s,与当时的测量值340.89 非常接近,因此拉普拉斯是公认的第一个正确推导出声速的科学家。
4.png
▲ 需要注意的是,拉普拉斯时代气体定律还不完善,热力学定律更是没有,所以计算声速不是简单的事。

然而科学界对此的争议并没有消失,因为当时气体的分子运动理论还没有建立,热量和温度等性质也没有完备的理论。1857 年克劳修斯把牛顿的气体分子质点模型修改为弹性球模型,初步描绘了气体分子的碰撞规律。1859 年麦克斯韦发展了这一理论,提出气体分子的热运动速率满足某一分布规律。1866 年玻尔兹曼在他的博士论文中进一步发展了气体分子运动论,并在后来提出了统计力学方法,使气体运动论得以完善。然而,直到20 世纪初,气体运动论才被广泛接受,声速的理论公式也终于完全被科学界所接受。
5.png
▲ 麦克斯韦和玻尔兹曼是对的,现在我们知道,声速确实和分子热运动速度相关,对于常温的空气,声速是分子热运动平均速度的68.3%。

03、声速的推导

01、定性分析
扰动产生的压力变化在流体中是以纵波的形式传递的,是一连串压缩和膨胀行为。其传播速度与扰动形式无关,而只取决于流体本身的性质。

可以用弹簧中的纵波来类比。显然,弹簧的刚度越大,促使形变传递的力就越大。同样外形的弹簧,钢弹簧传递纵波的速度一定比铜弹簧快,因为钢的弹性模量比铜大,密度却比铜小。同种材料,不同丝直径和绕法的弹簧中的波速也大不相同。

总体来说,弹簧中纵波的传播速度与弹性模量成正比,与弹簧的线密度成反比,即:
6.png
7.png
弹性模量的定义为应力和应变的比值,对于气体,应力就是压力的增量dp,而应变是体积的相对减小量。对单位质量的流体来说,体积是密度 的倒数,因此体积的相对减小量为:
8.png
流体的弹性模量为:
9.png
与弹簧类比,气体中扰动的传播速度为:
10.png

02、定量推导
我们现在可以很容易地推导出声速公式,不是因为我们比拉普拉斯还厉害,而是因为我们已知了气体的状态方程和等熵关系式。下面来定量地推导声速公式,涉及一些流体力学和数学的公式,不感兴趣的读者可以略过这部分。

为了简化问题,只推导声音在管内直线传播时的速度,可以证明管内的声速和开放空间的声速是相同的。如图所示的管道,内部空气原本相对于交界面的流速、密度和压力用下标0表示,如果现在左侧的空气被轻微压缩,性质用下标1表示,在中间形成一个有压差的交界面,可以推导出这个扰动的传播速度。
11.png
从上面的推导过程可以看出,其中用到了这样一个条件:
12.png
如果是较强的压力扰动,比如激波,上面这个条件就不满足了,激波对于空气的压缩较强,所以有:
13.png
这时波速比一般的声速大。

如果是引起空气膨胀的扰动,即膨胀波,则有:
14.png
这时波速比一般的声速小。

使用麦克斯韦和玻尔兹曼等人建立的分子运动理论,也可以推导出声速。不过这个方法比较复杂,这里就不展开了。

需要指出的是,声速虽然是宏观的信息传播速度,但也是由微观的分子运动速度决定的,所以分子运动速度和声速有明确的关系。

分子平均运动速度的表达式为:
15.png
和声速比较,可以看出:
16.png
17.png
▲ 空气分子的速度各不相同,但总体上满足麦克斯韦速度分布率。

04、总结

人们测量和计算声速的努力持续了几个世纪,直到热力学定律和气体状态定律建立起来后,才真正从理论上得到了声速的公式。

声速的推导可以用宏观的流体力学方法,也可以用分子运动统计方法,前者较为容易些。

后记:最后送给大家一个经典怀表的高清大图,费力气画的,只看小图太浪费了。
18.png


回复
分享到:

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 我要加入

本版积分规则

快速回复 返回顶部 返回列表