声速公式的推导和含义

莫名其妙

从十七世纪开始，人们为声速的测量做了很多努力，主要使用枪炮声进行测量。

导  读
本篇文章简单介绍历史上为了测量和计算声速的努力，以及声速公式的推导和含义等。

01、声速的测量

因为声音的速度并不是很快，人们从很早就知道声音的传播是需要时间的，并尝试测量声速。

早期的声速测量其实都是在比较光速和声速，一般都是用枪炮来同时发出光和声音，在较远的距离测量闪光和爆炸声的间隔时间来计算声速。鉴于光的传播时间完全可以忽略，且枪炮声基本上是与一般声音的速度相同（实际上比一般声音稍快），这种方法是没有问题的。在克服了计时装置的简陋、风以及空气的温度和湿度等的不确定性影响后，在十八世纪后半叶，声速测量值的误差已经缩小到了0.5 m/s 以内。

▲ 用枪炮声和计时装置来测量声速的方法存在诸多误差，最大的误差来自计时误差和风速误差，空气湿度也有影响。另外，枪炮声在一开始是较强的爆炸波，速度比一般声速要快一些，不过爆炸波呈球面扩张，迅速衰减成速度接近一般声速的弱激波，只要在距离枪炮足够远的地方测，这种因素带来的误差并不大。

▲ 测量声速的努力持续了几个世纪，在牛顿时代，声速的测量精确度并不令人满意，到1800年左右，声速的测量精确度已经足够高了。

要消除大气环境中的风速以及空气不纯净等影响，更精确的测量必须在实验室内进行。测量方法则更多地利用了声波的特性，用波长和频率等来计算声速。1942 年，宾夕法尼亚州立大学的研究者们使用声波干涉仪得出了一个大气压、0℃下的干空气中的声速为331.45 m/s，这是目前广泛使用的声速标准值。1984 年有人发现了其中的一个数学错误，并把该数值修正为331.29 m/s。采用现代声速公式计算出的同等条件下的声速为331.60 m/s，与实验值有千分之一的误差。实际上，声速的理论公式和实验结果都不是完全精确的，很难说哪个更合理。

02、声速的计算

第一个从理论上推导出声速公式的是牛顿。他在1687 年出版的《自然哲学的数学原理》指出，声速取决于空气压力随密度的变化。并应用等温条件得出了声速的数值为295 m/s，这比当时的测量值低了20%。数学家欧拉和拉格朗日都曾经进行过声速的推导，得出了和牛顿差不多的结果。

1802 年，拉普拉斯指出，声音的传播过程中伴随着气体的轻微的压缩和膨胀，温度会有变化，并不是个等温过程，而是一个绝热过程。1823 年，拉普拉斯采用当时空气热特性的测量数据，计算出声速为337.15 m/s，与当时的测量值340.89 非常接近，因此拉普拉斯是公认的第一个正确推导出声速的科学家。

▲ 需要注意的是，拉普拉斯时代气体定律还不完善，热力学定律更是没有，所以计算声速不是简单的事。

然而科学界对此的争议并没有消失，因为当时气体的分子运动理论还没有建立，热量和温度等性质也没有完备的理论。1857 年克劳修斯把牛顿的气体分子质点模型修改为弹性球模型，初步描绘了气体分子的碰撞规律。1859 年麦克斯韦发展了这一理论，提出气体分子的热运动速率满足某一分布规律。1866 年玻尔兹曼在他的博士论文中进一步发展了气体分子运动论，并在后来提出了统计力学方法，使气体运动论得以完善。然而，直到20 世纪初，气体运动论才被广泛接受，声速的理论公式也终于完全被科学界所接受。

▲ 麦克斯韦和玻尔兹曼是对的，现在我们知道，声速确实和分子热运动速度相关，对于常温的空气，声速是分子热运动平均速度的68.3%。

03、声速的推导

01、定性分析
扰动产生的压力变化在流体中是以纵波的形式传递的，是一连串压缩和膨胀行为。其传播速度与扰动形式无关，而只取决于流体本身的性质。

可以用弹簧中的纵波来类比。显然，弹簧的刚度越大，促使形变传递的力就越大。同样外形的弹簧，钢弹簧传递纵波的速度一定比铜弹簧快，因为钢的弹性模量比铜大，密度却比铜小。同种材料，不同丝直径和绕法的弹簧中的波速也大不相同。

总体来说，弹簧中纵波的传播速度与弹性模量成正比，与弹簧的线密度成反比，即：

弹性模量的定义为应力和应变的比值，对于气体，应力就是压力的增量dp，而应变是体积的相对减小量。对单位质量的流体来说，体积是密度 的倒数，因此体积的相对减小量为：

流体的弹性模量为：

与弹簧类比，气体中扰动的传播速度为：

02、定量推导
我们现在可以很容易地推导出声速公式，不是因为我们比拉普拉斯还厉害，而是因为我们已知了气体的状态方程和等熵关系式。下面来定量地推导声速公式，涉及一些流体力学和数学的公式，不感兴趣的读者可以略过这部分。

为了简化问题，只推导声音在管内直线传播时的速度，可以证明管内的声速和开放空间的声速是相同的。如图所示的管道，内部空气原本相对于交界面的流速、密度和压力用下标0表示，如果现在左侧的空气被轻微压缩，性质用下标1表示，在中间形成一个有压差的交界面，可以推导出这个扰动的传播速度。

从上面的推导过程可以看出，其中用到了这样一个条件：

如果是较强的压力扰动，比如激波，上面这个条件就不满足了，激波对于空气的压缩较强，所以有：

这时波速比一般的声速大。

如果是引起空气膨胀的扰动，即膨胀波，则有：

这时波速比一般的声速小。

使用麦克斯韦和玻尔兹曼等人建立的分子运动理论，也可以推导出声速。不过这个方法比较复杂，这里就不展开了。

需要指出的是，声速虽然是宏观的信息传播速度，但也是由微观的分子运动速度决定的，所以分子运动速度和声速有明确的关系。

分子平均运动速度的表达式为：

和声速比较，可以看出：

▲ 空气分子的速度各不相同，但总体上满足麦克斯韦速度分布率。

04、总结

人们测量和计算声速的努力持续了几个世纪，直到热力学定律和气体状态定律建立起来后，才真正从理论上得到了声速的公式。

声速的推导可以用宏观的流体力学方法，也可以用分子运动统计方法，前者较为容易些。

后记：最后送给大家一个经典怀表的高清大图，费力气画的，只看小图太浪费了。