浅说非线性及其有限元分析

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世界是非线性的。但是，人类对它的认识却是从简单的线性开始的。早在公元前500年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派就发现了自然数是按照均匀的线性关系增加的。

到了18世纪，法国大数学家拉普拉斯首先认识到，自然界也许不是一个简单的线性世界。他曾说，如果世界是线性的，则一旦初始条件确定，则世界就按简单、均匀的规则发展，那么，这个世界也未免太简单、太单调了。

到了19世纪，随着力学的发展，数学家们首次发现了非线性的微分方程，这类方程与通常的线性的微分方程相比，方程中多了一个或几个非线性的项，正是非线性项的存在，使方程由简单的线性变成了复杂的非线性。当时，这类方程较多地出现在空气动力学方程与流体力学方程之中。而法国数学家庞加莱则是最早研究此类方程的人，由此，他得出结论：自然界从广义上讲是由非线性构成的，线性只是一个特例。

公认的对现代非线性理论做出杰出贡献的是荷兰的一位气象学家，叫洛伦兹，正是他开启了人类认识非线性世界的大门。在非线性世界中，结果对初始条件有着很大的依赖性，只要初始条件有一点微小的变化，随着时间的推移，结果会越来越发生质的变化，洛伦兹将非线性世界的这一特征称为“混沌效应”。

因此，线性只是我们对复杂物理现象的简化，非线性才是客观世界的常态。

将非线性状态抽象分类出来主要是三类：

  ● 材料非线性

  ● 几何非线性

  ● 边界非线性

● 材料非线性 ●

材料非线性是指材料属性会随某些变量变化时，显示出非线性特征。所有的工程材料本质上都是非线性的，因为无法找到单一的本构关系满足不同的条件，比如加载、温度和应变率。

材料非线性的简单分类：

  ● 非线性弹性

  ● 超弹性

  ● 理想弹-塑性

  ● 弹性-时间无关塑性

  ● 时间相关塑性（蠕变）

  ● 应变率相关弹-塑性

  ● 温度相关的弹性和塑性

● 几何非线性 ●

几何非线性可能与大应变、大转角、大变形几种情况有关，这个并不是由于材料特性发生了变化，而是由于几何形状变化，造成刚度矩阵需要跟随几何形状变化，从而影响最终结果。当形变非常大，造成应变非常高的时候，也有可能同时存在材料高度非线性。

● 边界非线性 ●

最典型的边界非线性就是力学分析中的接触，包括摩擦，碰撞等等。如两个或更多个部件彼此接触或相互干扰，则组件的这种刚度也会变化并改变。

在实际工程中，产品结构设计常常会被优化，让荷载接近材料强度，以充分利用材料性能，在这种情况下，为了准确地预测结构强度，有必要进行非线性有限元分析。

下表简要列出了线性和非线性有限元分析之间的主要不同：

来源：有限元科技微信公众号（ID：Featech）