什么是有限元分析（FEA）中的收敛？

为了模仿

那些使用过有限元分析的人，经常使用术语“收敛”。大多数线性问题不需要迭代求解过程，那么有限元中的收敛性到底是什么呢？网格收敛是一个需要解决的重要问题。另外，在非线性问题中，还需要考虑迭代过程中的收敛性。那么这是什么意思？在本文中，我们将详细讨论收敛性，及此术语相关的问题。

网格收敛：有限元分析中的h和p细化
影响计算力学精度的最容易被忽视的问题之一是网格收敛。这关系到模型需要有多少的单元才确保有限元分析的结果不受更改网格大小的影响。

图1 随着自由度增加，结果收敛

如图01所示，首先确定关注的量至关重要，随着网格密度的增加，关注的量开始收敛到某确定值。如果随后的两次网格细化基本上没有改变结果，则可以认为网格已经收敛，无需进一步细化。

关于网格细化的问题，不一定总是需要对整个模型中的网格进行细化。圣维南原理要求一个区域的局部应力不影响其他区域的应力。因此，从物理角度来看，仅可以在特定的关注区域中对模型进行细化，并且还可以具有从粗网格到细网格的过渡区域。如图02所示，有两种类型的网格细化（h和p细化）。H细化与元素尺寸的减小有关，而p细化与元素节点的增加有关。

但是，区分几何影响和网格收敛很重要。尤其是在使用直线（或线性）元素对曲面进行网格划分时，这将需要更多的单元（或进行网格细化）以精确捕获边界。如图03所示，网格细化可以显著降低误差。

图2 结构网格细化方法

图3 通过h法精修曲面来减少误差

存在奇点时的收敛
大多数模型都有内角和外角，其中半径假定为零，在存在裂缝的情况下也是如此。在这些情况下，应力在理论上是无限的。现在您能猜出飞机窗为什么没有角而是在边缘变圆了吗？

图4 应力奇点

在存在奇异性的情况下，需要围绕其细化网格。但是，如图04所示，网格越细化，应力继续增加并趋于无穷大。因此，在存在圆角的情况下，通常更合理的做法是给定一个实际半径，然后使用足够数量的单元细化该区域，以获得较准确的应力。

锁定时收敛
另一个常见的非线性问题与锁定有关，即体积和剪切锁定效应。在与超弹性的不可压缩性和塑性有关的问题中通常遇到体积锁定。而在弯曲为主的问题中通常会遇到剪切锁定。当泊松比趋于0.5时，体积模量趋于无穷大，因此材料表现出不可压缩性。在这种情况下，优选二阶元素，或者换句话说，需要p细化。类似地，梁弯曲问题，其中在自由端施加了力矩。考虑到梁自由端的挠度，可采用二阶单元更快获取挠度的收敛值

如何衡量收敛
既然已经讨论了收敛的重要性，那么如何衡量它呢？什么是量化收敛的指标？一种衡量方法是与解析解或实验结果进行比较。

图 5 关于误差的定义

如图07所示，可以为位移，应变和应力定义几个误差。这些误差可用于比较，并且需要通过网格细化来减少。但是，在FEM网格中，这些量是在各个点（节点和高斯）处计算的。在这种情况下，应该在哪里和多少点计算误差？

图6 误差范数与元素大小的比较

定义范数，使得可以计算整个结构或结构的一部分上的平均误差。如图8所示，误差范数也可以与元素的大小进行比较。如图8所示，这里的“ c ”是比例常数，而“ h ”是元素尺寸。因此，可以定义以下几种误差，例如  L2和能量误差范数。但是，在实际应用中，其无量纲形式对于评估实际误差程度更为有用。因此，在这种情况下，使用以下范数的均方根值来表示误差。

最后一个主题与这些误差的减少速率有关。如果我们使用的是线性元素，二次元素或三次元素，那么如何判断误差是否以正确的速度减小？ L2-范数误差以p + 1的速率减小，能量范数以p的速率减小。