混沌振动信号降噪效果的评价方法

为脆弱的城市

混沌是非线性科学研究的重要课题，国内外学者围绕混沌的应用、控制和识别等问题开展了广泛的研究[1]。但是，由于受到测量工具以及外界环境等影响，实际采集到的混沌信号不可避免地混有噪声，掩盖了混沌信号的真实动力学行为，并且混沌复杂的动力学行为使其具有功率谱宽带性和似噪声性[2]，其频带与叠加的噪声的频带往往全部或部分重叠，传统的线性降噪方法很难实现有效滤波，甚至会严重歪曲了干净的混沌信号，因此混沌振动信号降噪是非线性振动领域的热门课题[3]。

如何体现降噪方法的有效性？需要一系列切实有效、通用的评价体系。常用的评价指标有信噪比、均方误差、信号增益等[4]，这些参数仅适用于信号先验知识已知的情况，而对于工程实际的振动信号，系统模型未知、工况复杂，这些评价方法就不再适用，为此，针对系统模型未知的去噪效果评价方法，本文依据信号和噪声的不同表现特性进行去噪评价，就系统模型已知和模型未知两种情况对去噪效果评价方法进行综述分析。

1 系统模型已知情况的评价方法

系统模型已知的去噪评价方法主体思想是将去噪后的信号和原始干净信号进行比较分析，此类信号都是由系统方程产生，因而根据其差分方程或微分方程迭代计算便可求解评价去噪效果的量。

(1)信噪比(Signal Noise Ratio，SNR)。信噪比反应去噪能力的大小，求解信噪比的公式为：

2 系统模型未知情况评价方法

对于系统模型未知的情况，即 未知，上述的参数指标已不能通过数学计算求得。然而，可以通过混沌信号和噪声对同一参数的不同表现形式来评价去噪效果的优劣。

（1）自相关函数

由于混沌时间序列的自相似特性，其自相关函数值很大，而白噪声是一类零均值序列，其各个噪声点的自相关函数值比较小，依据这一特性可以很好地反映去噪效果。自相关函数值定义为[5]:

其中，t表示时延。自相关函数值越大，则去噪效果越好。

（2）预测相对误差

噪声的存在会影响预测算法对后续数据点的追踪，从而使混沌时间序列预测效果降低。文献[6]介绍了混沌时间序列的Volterra自适应预测方法，对信噪比分别为5dB和10dB的Lorenz含噪时间序列进行单步预测，取前500个数据点作为训练样本，后1500个点为测试样本，仿真结果如图1所示，可以看出，信噪比为10dB的混沌时间序列经Volterra自适应单步预测后，真实值和预测值拟合较好，且预测绝对误差减小了近9倍，说明了信号噪声强度和预测算法的相关性。

通过大量仿真得到了不同信噪比混沌信号的预测相对误差和信噪比的关系曲线，如图2所示。可以看出信噪比大于10dB，相对误差Perr接近于0；信噪比小于-50dB时，相对误差也趋近平缓，因而可以利用预测相对误差作为评价去噪效果的一种有效指标。

（3）关联维数

混沌信号是由低维动力学系统产生，而噪声由高维动力系统产生，因而，噪声的关联维数要明显大于混沌信号，信号受到噪声干扰，其关联维数会增大[7]。以Lorenz系统为例，设定时间延迟t=20，嵌入维数m=7，数据长度为4000。图2 (a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)分别为干净的、信噪比为15dB、0 dB、-5 dB、-20 dB、-70 dB的Lorenz关联维数曲线图，可以看出，关联维数曲线随着噪声水平的增加收敛的速率减慢，并且随着嵌入维数的增加，这种现象更为明显，在SNR=-70dB，m=4时刚开始迭代就出现了伪饱和现象。由表1看出，噪声强度越大，信号的关联维数就越大。由图3可以看出，噪声强度越大，其对应的关联维数曲线收敛斜率就越小。因此，关联维数可以作为评价去噪算法效果优劣的一项指标。

(4)功率谱密度(Power spectral density，PSD)表示的是每单位频率所携带的信号功率，混沌信号低频特性比较明显，白噪声高频特性较为明显[8]，因此可以比较去噪前后的功率谱密度图来定性比较去噪效果，图4给出了干净和信噪比为5dBLorenz序列的功率谱密度图，可以看出，两种序列的基础信号为低频混沌信号，所以低频部分的功率谱密度表现较为突出，而干净Lorenz序列没有高频噪声干扰，所以其功率谱密度随频率逐渐下滑，而受到噪声干扰的Lorenz序列其高频部分的功率谱密度比较突出，如图4(b)所示。

(5)庞加莱截面图

图6给出了两自由度隔振系统被隔振设备的Poincaré截面图，在位移、速度和时间张成的三维空间中，将点[(x1,t),( , t)]记为初始值点，每隔等时间间隔 在位移-速度平面上记录一点，直至完成整个相图中点的记录，这些点就构成了Poincaré截面图[9]。图6(a)为干净信号的Poincaré截面图，图中较为集中的点体现了相图中的吸引子结构，其余点沿运行轨迹散开，结构清晰，层次分明；图6(b)为受到噪声干扰的Poincaré截面图，吸引子的结构已经被噪声扰乱，只表现出杂乱无章的离散点，这些点映射到信号位移-速度平面上就呈现出图6(b)中扭曲的运行轨迹；图6(c)为信噪比为5dB信号的Poincaré截面图，吸引子结构得到了一定的恢复，但是层次性不明显，数据点沿运动轨迹发散的形式仍旧体现不出来；图6(d)为信噪比为10dB信号的Poincaré截面图，无论是吸引子的结构，还是运行轨迹都较为明显，显示了信号原始的动力特性，因此，庞加莱截面图可以作为评价去噪算法效果优劣的一项指标。

3 结论

本文分别从混沌振动系统模型已知和系统模型未知两方面详细介绍了信号降噪效果评价方法，提出了混沌预测、功率谱密度、庞加莱截面等针对混沌系统模型未知、工况复杂情况下的降噪评价方法，克服了传统的信噪比、均方误差等系统模型已知的降噪评价方法不适用工程实际的缺陷，形成一套完整的混沌振动信号降噪效果评价体系，由于实际工程信号复杂，条件恶劣，因此在应用过程中建议综合多个指标进行降噪效果评价。


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