声振论坛

 找回密码
 我要加入

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 1966|回复: 0

[声学基础] 声学基础概述之:振动学

[复制链接]
发表于 2020-11-11 15:54 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有账号?我要加入

x
声学 (acoustics) 是物理学的分支之一,《声学基础》从声源的振动特性、声波在自由空间传播特性、声波在管道中的传播特性、声波的辐射以及声波的接收,做了详细的介绍。

何为声学的本质?“传声媒质质点产生的一系列力学振动的传递过程”。可以发现,这里有两个关键点,一是媒质,二是振动。通俗地讲,声源振动,然后带动周围的媒质振动,周围的媒质带动更远处的媒质振动,由近及远,这就是声振动的传播过程。

质点振动学
本节主要讨论振动体(声源)的振动特点。考虑振动物体的尺度远小于波长(振动一次传播的距离),即各部分的运动状态基本相同的情况,此时可以将振动物体看成集中参数模型进行分析。此时振动状态仅与时间t有关,故数学模型是常微分方程。

1. 自由振动

首先分析自由振动的物体,可以通过牛二推导出其振动方程,其解是按固有频率进行的简谐振动。
1.png
其对应的物理是如果物理有初始条件,或者在0时刻给了一个冲击,那么它就会按照其固有频率进行简谐振动。

2. 衰减振动

然后,考虑到实际物体在振动时会存在阻尼,阻力可能来自粘滞摩擦(向热能转化),亦或是来自周围媒质的反作用(辐射声能),故其振动方程要引入阻力项。此时解会有两种情况,阻尼较小时做振幅指数减小的简谐振动(振动频率会小于固有频率),阻尼过大时不再进行简谐振动。

3. 强迫振动

最后,分析的是强迫振动。强迫振动,顾名思义是存在一个外力,施加于振动物体。此时,振动方程变成非齐次常微分方程,这类方程的解由通解和特解组成,从信号与系统的角度讲叫零输入响应和零状态响应,而声学基础里称为自由响应和稳态响应。我们知道自由响应是指数衰减的,所以经过一段时间后即可忽略不计,物体的振动状态最终由稳态响应来反应。

我们假设外力是一个频率为f0 的简谐力,那么稳态响应将是频率为f0 的简谐振动,其位移振幅应为Fa/ω0Zm,很明显这是一个与频率相关的函数。同理,其速度振幅,加速度振幅也同样是频率相关的函数。

不同的频段,振幅的频率特性不同,我们主要利用三种频段范围:

  · 第一种是,共振峰附近的频带,此处很小的外力就能激发很强的振动,进而辐射更大的声功率,例如换能器。

  · 第二种是,具有均匀(平坦)的频率响应的频带,此处可以保证输入输出不失真,例如电声设备中。

  · 第三种是,频响很弱的频带,此处外力作用下输出的振动幅度很小,例如隔振系统中要保证强外力作用下系统振动依然很微弱。

位移振幅、速度振幅,加速度振幅的平坦区不同。位移位于低频,此时其振幅可以近似成Fa/Km,称为弹性控制区;速度位于共振峰附近,此时其振幅可以近似成Fa/Rm,称为力阻控制区;加速度位于高频,此时其振幅可以近似成Fa/Mm,称为质量控制区。在电声设备中,力学端与电学端耦合时使用的是哪个物理量,则其平坦区对应的频段。

上面我们讨论的是单频外力作用的强迫振动方程,那么针对任意外力呢?当然是傅里叶分解成单频外力的叠加啊!周期性外力用傅里叶级数分解,非周期性外力用傅里叶逆变换分解。这就是经典的信号与系统中针对零状态响应最经典的求法。数学上看,振动方程就是个常微分方程,那也就是个线性时不变系统,这样求解当然没有问题。求得每一个单频外力的响应后,叠加即可得到最终的稳态响应。
2.png
附上经典框图:线性、分解、合成

弹性体振动学
本节内容考虑振动物体尺寸与波长相比拟,即各位置运动状态不同,此时要看成分布参数系统进行分析。此时振动状态既与空间位置x,时间变量t 有关,故数学模型是偏微分方程。

1. 弦振动

弦振动是把具有一定质量的细绳张紧,以张力作为恢复力进行的振动。

取弦上的一个微元,计算两端张力在垂直方向上的合力,根据牛二列出运动方程,消去微小量即可得到弦振动方程。其数学形式是波动方程,其中c=√T/δ 是波动的传播速度。

根据数理方法中的达朗贝尔方法,我们知道波动方程的一般解是两个不同方向传播的波函数,由于边界条件的存在(弦的两端被固定)传播会被反射,所以弦上的任何位置都同时存在正向波和反向波,有界弦上形成驻波。

针对两端固定的弦振动,利用驻波法求解弦振动方程可以得到解的具体形式,是由各阶简正模态叠加的形式,即若给定初始条件或者在0时刻给一激励的自由响应。每一号简正模态空间上呈现三角函数式的幅度分布,时间上呈现的简谐振动,与其简正频率相关。
3.png
而不同简正模态的系数可以同过初始条件(初位移 or 初速度)去求得,因为不同号模态是正交的,所以求解时很方便。

需要注意的是,这里的边界条件是两端固定,即位移为0,不同的边界条件会产生不同的简正模态,如果是质量负载边界条件的话,会出现非谐频。

2. 棒振动

此处仅讨论棒的纵振动,其恢复力主要由其劲度(弹性)产生,其实纵振动的物理过程与声波的传播过程非常类似。

在棒上取一微元,计算其单位长度上的伸缩量(应变),利用虎克定律(应力正比于应变)即可算出不同位置处的受力大小,再对其列运动方程,消去微小量后就能得到棒的纵振动方程,其数学形式同样是波动方程,其中
4.png
棒的纵振动的数学形式跟弦振动的数学形式一模一样,那么可以预料到其自由响应的形式也与弦振动一模一样,也是简正模态叠加的形式。

这里我们分析一种新的边界条件,“一端自由,另一端受简谐外力”。此时的棒振动不再是多个简正模态叠加了,而是只有同外力频率相同的振动模式。类似于集中参数模型,如果外力频率与简正频率相同,则会形成共振(振幅非常大),因为分布参数系统存在多个简正频率,所以会有多个共振峰。

3. 膜振动

膜振动的恢复力主要是张力。因为膜是二维的,取一体积微元,类似于弦振动,在x 方向和y 方向分别列出运动方程,注意这里的T 为单位长度上的力,可以得到膜振动方程。其数学形式是波动方程,其中
5.png
我们考虑膜对称振动的自由响应,此时选取柱坐标系求解振动方程。通过驻波法可以得到解同样为各号简正模态的叠加,每一号简正模态空间上沿径向的振幅以0阶贝塞尔函数J0(knr) 形式变化,时间上是简谐振动,且与简正频率有关,这里的简正频率不再是倍频的关系,而是由0阶贝塞尔函数的一系列零点决定。

此外,需要了解的是,直角坐标系下三角函数是驻波解,e 指数函数是行波解;柱坐标系下,柱贝塞尔函数是驻波解,柱汉克尔函数是行波解;球坐标系下,球贝塞尔函数是驻波解,球汉克尔函数是行波解;物理上,两个方向相反,幅值相同的行波叠加形成的是驻波。

然后再来讨论一下膜的强迫振动,假设膜的表面受到一个处处相等的简谐力,此时振动方程变为一非齐次偏微分方程。时间上为简谐振动,振动频率与简谐力相同,故波动方程可退化为一非齐次常微分方程,自变量为r(其实,这也可以理解为对非齐次偏微分方程作一傅里叶变换的操作)。该部分的解可以由通解+特解组成,通解如上,是一0阶贝塞尔函数J0(k0r),k0 由简谐力频率决定;特解是一常数;两者叠加的结果需要满足边界条件,即:
6.png
可以发现,如果强迫力的频率正好与膜的简正频率相等,此时会发生共振,同样会存在多个共振峰。如果膜的尺度很小(相当于横坐标截距左移)或是振动频率很低(相当于曲线变宽),那么幅值在 [0,a] 上变化会很小,说明各部分运动状态几乎相同,即可近似看作集中参数模型。

如果考虑阻尼的话,即引入一项位移的一次导数项,此时引入复波数便可继续化简为亥姆霍兹方程,负虚部代表衰减。

参考资料:
杜功焕.声学基础 (第三版)[M].南京大学出版社

来源:_朱坚强CSDN博客,作者:_朱坚强。

回复
分享到:

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 我要加入

本版积分规则

QQ|小黑屋|Archiver|手机版|联系我们|声振论坛

GMT+8, 2024-12-23 11:21 , Processed in 0.104846 second(s), 21 queries , Gzip On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表