固体力学领域具有广阔应用前景的自然单元法

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20 世纪60 年代初问世的有限单元法因其理论基础严密、物理概念清晰，加上其方便性、实用性和有效性，得到了快速发展，迅速从结构的强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法，业已成为解决科学和工程技术领域力学问题最强有力的工具。

随着问题研究的不断深入，有限单元法也逐渐暴露出一些弱点。例如：有限单元法的离散和插值是基于网格的，需要较大的前处理工作量；对于无限域问题，有限单元法通常只能取有限域进行计算，存在区域的截断误差，如果是波动问题，还需要对截断边界进行特殊处理；通常的有限单元法的应力精度较低，对于应力集中问题存在网格尺寸效应；对于大变形问题，网格还会产生畸变；对于裂纹扩展模拟和冲击爆炸等破坏分析问题，则涉及网格的重构，给问题的研究带来很大的不便。

鉴于上述情况，国内外学者一直在探索新的数值方法，目的就是改造传统有限单元法的内部结构，摆脱网格的束缚，使其更加灵活和有效，从而适合处理上述问题。近年来，相继提出了各种无网格数值方法，本文所介绍的自然单元法在本质上也是一种求解偏微分方程的无网格数值方法。

自然单元法可以看做是介于有限元法和无网格法之间的数值方法，具有无网格方法和经典有限元方法的优点，又克服了两者的一些缺陷，在裂纹扩展、板壳问题、接触问题、弹塑性大变形问题等固体力学领域具有广阔的应用前景。

章青及其研究小组在自然单元法相关研究中进行了卓有成效的工作，在自然单元法形函数计算、数值积分和自适应分析、中厚板弯曲问题、裂纹和材料边界问题、应力强度因子计算以及弹塑性力学问题、动力学问题、大变形分析、区间分析等方面取得了相应的研究成果。

《固体力学问题的自然单元法》就是这些研究成果的最新结晶。内容涉及自然单元法的形函数构造、试函数的单位分解增强、平衡方程等效弱形式及其离散化、数值积分方案的选择、自适应方案等内容，并就自然单元法在材料边界、板壳问题、材料非线性分析、几何非线性分析、动力分析、断裂力学问题以及区间分析等方面的应用进行研究。主要内容如下：

(1) 阐述了自然单元法的基本原理和数值实施方法。详细介绍了自然单元法形函数的构造方法和特点，给出了二维情形下Sibson 插值和non-Sibson 插值形函数的具体计算方法，推导了自然单元法离散系统总体刚度矩阵和荷载列阵的计算列式，通过算例验证了自然单元法求解弹性力学问题的可行性。

(2) 基于Laserre 提出的凸多面体的体积算法，对二维自然单元法Sibson 插值和non-Sibson 插值形函数及其导数的计算方法进行研究。给出具体的计算列式，对计算过程中可能导致计算失败的情形进行细致的分析和几何解释，并提出相应的处理方法和对策，为自然单元法的进一步应用提供坚实的基础。

(3) 分析非凸边界上自然单元法形函数的计算特点，提出一种实用的非凸边界上自然单元法形函数的计算方法。通过对边界结点及其相邻关系的简单描述，在区域三角化和形函数计算时对涉及的自然邻点关系进行修正，实现了近似函数在任意边界上的线性变化。所提出的方法具有普遍的适用性，对结点布置和区域边界的凹凸程度并无限制，因而可方便地处理包括裂纹边界和材料边界在内的各种非凸边界问题。并采用复合函数的链式求导法则，获得了三维自然单元法non-Sibson形函数导数的显式格式。

(4) 对自然单元法的数值积分方案进行研究。分析引起数值积分误差的主要因素，揭示其共同本质，结合自然单元法形函数的特点，采用基于Voronoi 单胞分解的背景网格积分方案和平均应变结点积分方案，检验其可行性。基于Z-Z 后验误差估计方法对自然单元法的误差估计和自适应细化进行研究，开发出能根据恢复应力进行自适应分析的自然单元法程序，通过算例验证方法的有效性。

(5) 基于考虑剪切变形的Reissner-Mindlin 板弯曲理论，通过变分原理导出总体刚度矩阵和荷载列阵的计算列式，将自然单元法应用于中厚板的弯曲问题计算。由于对板的挠度和中面法线转角采用相同的插值形式，对于厚跨比较小的薄板可能会夸大虚假的剪切变形影响，对剪切自锁现象进行分析，为进一步开发厚薄板通用的自然单元法计算程序提供依据。

(6) 将自然单元法应用于断裂力学问题。在单位分解框架下将裂纹缝尖渐近位移场函数嵌入到自然单元法的位移模式中，以反映裂纹尖端的奇异性质。为避免对积分子域进行子划分，通过边界结点方法定义裂纹面，以实现裂纹边界上位移的不连续性。推导刚度矩阵和荷载列阵的相关列式，并应用相互作用能量积分方法计算混合模式裂纹问题的应力强度因子。

(7) 对自然单元法在弹塑性问题中的应用进行研究，给出线性强化模型下的相关计算公式和实施方法。采用增量切线刚度法对非线性控制方程进行迭代求解计算。采用应力折算法确定弹塑性过渡状态下的比例因子和执行一致性条件，编制相应的计算程序并通过算例验证所提出方法的有效性，为实际工程的应用奠定了基础。

(8) 进行了结构动力学问题的自然单元法研究。从结构动力学的相关基本理论出发，应用伽辽金方法建立了无阻尼动态自然单元法模型和有阻尼动态自然单元法模型，并采用中心差分法、Newmark 法、Wilson-μ 法三种直接积分方法进行求解，分别结合这三种方法对相关问题进行了分析和研究。通过算例分析和比较，展示了动态自然单元法在对结构动力学问题进行分析和研究中的可行性和合理性。

(9) 探讨和建立了几何非线性问题的自然单元法模型，包括小变形几何非线性问题和大变形几何非线性问题。对于小变形几何非线性分析问题，在格林应变关系的基础上建立了相应的自然单元法模型，给出了求解过程和计算格式。在大变形几何非线性分析中，考虑变形过程中的位形变化，给出了基于TLD 描述方法的相关方程，通过伽辽金方法建立了相应的自然单元法模型，并给出了具体的求解格式。在上述研究工作的基础上，研究了基于小变形基础上的材料-几何双重非线性问题。通过算例表明了所建立模型的正确性、可行性和合理性。

(10) 区间分析方法是研究不确定性问题的一种有效方法，本书提出并建立了区间分析的自然单元法模型。主要针对材料参数、边界条件以及几何参数等为区间值的三种情况进行了分析和研究，对各项参数分别研究了涉及区间值时的处理技术，探讨了计算中的扩张问题和区间方程组的解法，通过算例分析，验证了区间自然单元法的有效性。