分析力学中的虚功原理

魔镜

说到分析力学，就不得不提拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)，拉格朗日是法国著名数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于法国巴黎。1760～1761年，拉格朗日用虚功原理、达朗贝尔原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。1788年拉格朗日出版了《分析力学》，标志着分析力学的诞生 [1]。

而虚功原理是1717年由伯努利首先发现的。

任何一个物理系统都可以表示为受到两种力的作用，主动力F和约束力R。物理系统就是研究的对象，它一般由n多个质点组成。简单的说，就是你开的汽车，给你们一辆宝马。

它由n个点构成，它所受到的主动力是地球给它施加的重力、发动机给它的动力，约束力是让汽车束缚于在地面上运动的力（即支持力和摩擦力），谁家的汽车都是在地面上跑对吧。用专业的语言表述就是：

当这个系统处于平衡状态时，就是你家的车停在地面上没动的时候，对于这个系统每个质点都没有动，那么必然有，

这是个常识问题，牛顿第一定律是初中物理对吧。

现在我们让系统的每个质点都发生一虚位移，虚位移就是假的位移，其实它没发生，是我们想象出来的。

微分df表示一个物理量f的微小变化，就像你吃了一口苹果，这口苹果咬的很少很少，和没吃一样。变分δ可以简单的理解为与一种与时间无关，但发生了这一变化的微分，好像时间在变分δ这里静止了。就如同你还是同样咬了那口很小的苹果，但丝毫没费时间。

当这个系统受到一种满足如下条件的约束时，

我们称之为它受到了理想约束。理想约束是一种特殊的约束，系统所受每个约束力与虚位移的点乘积的和为0。那么上式有，

大家都知道一般的功W被定义为，

是力F在位移r上的累积量。所以我们把发生在虚位移上的功称为虚功。

那么我们就得到了虚功原理：一个受理想约束的力学系统，处于平衡状态时，主动的虚功之和为0，即，

从虚功原理出发推导出广义力，由于推导复杂我们就略去了。结果如下，

自由度是描述清楚系统的运动最少的独立坐标个数，广义坐标是就坐标的广义版。