[转帖]变形体的运动描述——针对于几何非线性问题。

frogfish · 发表于 2005-8-2 09:13

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有一物体在t=0时，有一构形Ao，物体中一质点Po其坐标为Xio；在时间t=tn时，物体运动有构形An，质点Po运动到Pn；在时间t=tn+1=tn+dtn时，物体运动有An+1构形，质点运动到Pn+1。对于变形体及其上的质点运动状态，可以随不同坐标选取法有多种描述方法。可区分为四种。 1。物质描述。独立变量为Xi0和t，即给出任意时刻物体中各个质点的位置，这种描述很少用于连续体力学与有限元法中。 2。参照描述。独立变量为任意选择的参照构形中质点P的当前坐标与时间t，其中参照构形的选择是任意的，而且不影响计算结果。这种描述方法成为拉格朗日法。当选择t=0时构形称全拉格朗日描述。 3。相关描述。独立变量为tn时刻构形为参照构形的当前质点的坐标，以及时间为独立变量。在相关描述中，参照构形与时间相关。其实，此法也是一种拉格朗日体系。tn选为非线性增量求解时增量步开始时刻，则称为更改的拉格朗日描述。 4。空间描述。独立变量是质点P当前位置Xn+1与时间tn+1。这种描述成为欧拉描述。在欧拉描述中，有限元网格在空间中是固定的，材料流过这些网格，因此，它适用于流体及定常态过程，如稳态挤压过程。当分析物体的本构关系与当前应变或变形历史有关时，以及有分布力作用于物体自由表面时，欧拉描述就不方便了，而拉格朗日描述由于坐标附着在物质点上，因而易于引入本构关系和处理自由表面荷载问题。所以在几何非线性问题中，常用拉格朗日描述。

simon21 · 发表于 2005-8-30 23:29

摘　要：根据变形观测的位移矢量，识别变形体及其运动模式，是变形分析的一项 重要内容。以往的作法是根据矢量作图人工判断变形块体，然后选择适当的模式进行拟 合。本文提出了一种在点位邻接拓扑关系加其他先验信息构成约束的识别思想及相应算 法，从而可实现变形模式的自动识别。最后的算例说明了该算法的实现过程，有效性及 潜在意义。 　　关键词：变形模式；位移矢量相似度；拓扑约束矩阵；约束聚类 Model Recognizing of Deformation Object under Constraints of Topological Relationships JIANG Zheng, ZHANG Zheng-lu (Wuhan Technical University Of Surveying and Mapping,Wuhan,Hubei,430079) Abstract：Recognizing the moving blocks and their movement models of deforma tion object is an important content in deformation analysis. The traditional method of the deformation model recognizing is to draw the moving vectors o f the observed points, so that to judge the moving blocks artificially,and t o select suitable movement models. This paper introduces a new idea of recog nizing the deformation models and corresponding algorithm, which is based on constraints of topological relationships and other priori information. And the model recognizing can be automatically accomplished by the new method. F inally, an example is given successfully. Key words：deformation pattern；similarity of deformation vectors；topologic al constraining matrix；classification algorithm under constraint 1　引　言 　　根据点的位移矢量来识别变形块体及其运动模式，无论在全球板块运动监测还是在 局部地壳形变监测中，都具有重要的意义。在地壳形变分析中，当存在未知断层，或者 已知断层的确切位置不知道而需要用观测资料检验板块划分，或者需要确定有限单元分 析的边界条件等情况时，一般都是根据位移矢量推断板块的范围与运动模式。 　　如果变形块体（或板块）的相对移动量较大，而且是刚性平移，一般可以通过作图 来分析，即根据位移矢量的不一致性来判断不连续带。但这种人为的判断具有较大的模 糊性，一是难以用数量来衡量这种判断的准确程度；另一方面，如果位移矢量是3维的， 或者变形体的运动模式很复杂，就很难进行人工判断。 　　这使我们联想到用聚类分析的方法根据位移矢量的一致性对观测点进行分类，同一 类的点构成一个块体。但是，这可能会造成不连通的分类，即相隔很远的点被归入同一 个块体，或者一个块体内部的某一点属于另一个块体。这种纯统计上的识别结果可能造 成物理上的矛盾。因此，要达到合理的分类就必须兼顾位移的相似性，几何上的连通性 ，以及其他先验信息。如何兼顾几何上的连通性，雷钦礼（1996年）用地域约束聚类分 析法进行了经济地理的指标分类［2］。本文提出根据邻接拓扑关系及其他先验信息构成 拓扑约束矩阵进行平移模式识别的思想，建立了新的位移矢量相似度量度指标，并给出 了完善的算法。对于带有仿射变形模式的变形块体的识别，提出了以拟合模式方差作为 相似度指标的约束聚类识别方法，并给出了具体的算法。 　　 2　块体平移模式的识别 　　如果块体是平移运动，那么同一块体上点的位移矢量应是相同的。由于观测误差的 影响，根据两期观测值平差所计算的位移矢量会偏离其真值，若把位移矢量看成3维空间 上的点，则同一块体上的点的位移矢量将会围绕其真值变化，这是用聚类分析法识别平 移模式的前提。由于位移的真值是未知的，因此不能用位移矢量与真值的偏差来作为观 测点是否位于同一平移块体的判据，应采用本文所定义的位移矢量的相似度作为判据。 2.1　位移矢量的相似度 　　设变形监测网是2维网，其网点坐标为（xi，yi），i=1，2，…，n。由某两期观测 值平差所计算网点的坐标位移分别为（dxi，dyi）。在聚类分析中，一般采用距离函数 与相关系数作为相似度指标。由于位移矢量的分量较少，以距离函数作为位移矢量相似 度指标更合适一些。衡量监测网任意两点位移矢量相似度常用的距离函数有以下几种。 2.1.1　欧氏（Euclid）距离 　　(1) 2.1.2　马尔柯夫（Marlkoff）距离 　　(2) 其中，是dXij的协方差阵。 2.1.3　闵可夫斯基（Minkowski）距离 　　(3) 　　如果位移矢量的协方差矩阵是未知的，可以采用欧几里得或闵可夫斯基距离；如果 已知位移矢量的协方差矩阵，可采用马尔柯夫距离。 　　多于两个点如K个点所构成点组的位移矢量整体相似度，当位移矢量的协方差矩阵未 知时，可采用传统聚类分析法求点集中任两点的距离，以最大距离作为整体相似度指标 ［2］。如果协方差矩阵已知，则用这K个点的位移矢量作为观测值，根据其协方差阵平 差计算这K个点的“平均位移矢量”，平差的验后单位权方差反映了各点的位移矢量与“ 平均位移矢量”的整体偏差情况，可以作为衡量这K个点的位移矢量相似度的指标。 2.2　地域邻接性表达 　　为得到具有连通性的聚类结果，在此定义一个描述监测点邻接拓扑关系的拓扑约束 矩阵B B={bij}n×n　　(4) 其中　 　　如图1所示，这5个点的拓扑约束矩阵为 　　(5) 图1　监测点分布 Fig.1　The distribution of monitoring points 　　拓扑约束矩阵还可以顾及先验信息。例如已知某一块体与其某一邻接区域是分离的 ，即断层线位置已知，则这种先验信息应在拓扑约束矩阵中表达出来，尽管跨断层的两 点i,j相邻，但bij的值赋零。如图2所示，其拓扑约束矩阵在兼顾断层信息与点位邻接关 系时为 　　(6) 图2　监测点与已知断层 Fig.2　Monitor points and known fault 2.3　平移模式识别的约束聚类算法 2.3.1　计算位移矢量距离矩阵 　　在2.1中已述及可以用距离函数来衡量两个点位移矢量的相似程度。设dij是i, j两 点的位移矢量距离，显然dij越小，它们的相似度就越大。对于一个有几个点的测网，可 组成一个n阶距离矩阵，不难看出它是一个对角元素为零的对称方阵 　　　(7) 2.3.2　构造拓扑约束矩阵 　　拓扑约束矩阵的构造如2.2所述。对于一个有n个点的监测网，其拓扑约束矩阵B是 一个如式(4)的对称方阵。 2.3.3　搜索约束聚类对 　　聚类原则是寻找位移矢量的距离最短而又邻接的点作为一类，因此可根据距离矩阵 D与拓扑约束矩阵B来搜索。通过搜索，若l，m两点满足 dlm=?min{dij|i≠j,bij=1,i,j=1,2,…，n}　　(8) 则l, m两点可归入同一个块体。 2.3.4　改造距离矩阵与拓扑约束矩阵 　　l,m两点聚到一起后，可将它作为一点对待，用（l, m）表示，它与其他点的距离按 下式计算 d(l,m),i=min{dli,dm,i}　　(9) 　　这样，原n阶距离矩阵Dn×n变为n-1阶的距离矩阵D（n-1）×(n-1)。 　　约束矩阵B也应降一阶。l，m中只要其中一个与某一点是邻接的，（l,m）仍应与该 点邻接，按照这一原则，即有 b(l,m),i=max{blj,bmi}　　(10) 从而将Bn×n化为。 　　经过上述聚类后，块体变为1，2，…，l-1,(l,m)，l+1，…，m-1，m+1，…，n共n -1个块体。(n-1)×(n-1)与描述了“新块体”的位移相似性及拓扑约束关系。 　　根据新的距离矩阵与拓扑约束矩阵，重复2.3.2，2.3.3步骤，直到将所有点聚为一 类。对于如图2所示的网点，可得到一个如图3所示的变形模式分类树。选取不同的距离 阈值，可以得到不同的聚类集，如图3，若选d2,5为阈值，则聚类集为 图3　模式分类树 Fig.3　Classification tree of models 　　（1，3，4），（2，5） 　　若选d(1,3)，4为阈值，则聚类集为 　　（1，3，4），2，5

simon21 · 发表于 2005-8-30 23:29

3　平移与仿射变形混合模式的识别 3.1　平移与仿射变形混合模式 　　2维平面上平移与仿射变形混合模式可以表示为 　　(11) 　　如果已知一个块体上3个不同点的平面位移矢量（dx,dy）就可唯一地求出平移与仿 射变形的6个参数（a,b,c,d,wx,wy）。由于产生仿射变形块体上点位移矢量存在误差， 因此不宜用聚类分析方法，应用分块拓扑约束拟合方法来识别块体。 3.2　混合模式识别的拓扑约束拟合 　　先将监测网的点依相邻关系划分为三角形单元（如图4）。对于每一个三角形，将三 个顶点的位移矢量与相邻单元另一点的位移矢量一起按模型（11）拟合，可得到模型参 数与单位权方差的估值。单位权方差估值的大小反映了该单元加入相邻单元构成块体的 可能性。如果这两个单元确属同一块体，那么单位权方差估值就小；反之，则较大。照 着上述方法对每一单元扫描所有与其相邻的单元。以图4为例，对于②单元，要分别拟合 ②、①，②、③和②、⑦三个组，选取单位权方差估值最小的一组作为第一次识别的结 果。在图4中，假如第一次识别是⑤与⑥两单元组合的拟合方差最小，则第一次识别的分 块为图5所示。将⑤作为新的单元再进行新一轮的识别，如此循环直到将所有的单元合为 一个块体。这样可以得到一个分类树，选取一个合适的阈值，即可得到某次的块体分类 集。由于是选择拟合单位权方差估值作为分类指标，所以阈值的确定可以参考位置矢量 的中误差，或用文转［4］的有关检验方法确定。 图4　监测区域的单元划分 Fig.4　Dividing the monitoring field into elements 图5　第一次识别后的分块状况 Fig.5　Partitioning status after the first time of recognition 3.3　算法 　　(1）三角单元划分 　　以相邻关系进行划分，考虑已知断层的先验信息，尽可能使单元内角相近，不出现 过小的锐角或过大的钝角。 　　(2）组成单元邻接关系矩阵B 图4中的单元邻接矩阵为 　　(12) 　　(3）计算任意两个相邻单元拟合方差阵 D＝{σ2ij}　　(13) 　　(14) 其中σ2ij为i,j两单元按式（11）拟合的单位权方差。当i=j时，不需要计算拟合方差， 设其为零。 设其为零。 　　(4）搜索D矩阵，寻找非零元素中的单位权方差最小者。设为σ2lm=min{σ2ij,σ2 ij>0},则将l与m两单元合为一个块体。 　　(5）改造矩阵与矩阵为与以图4的第一次识别结果图5为例，则 　　(15) 对于则只要分别计算⑤与相邻单元④、⑥组合时的单位权方差。 　　(6）返回第4步。如此循环直至所有单元合为一个单元，从而得到类似于图3的分类 树。 　　(7）通过χ2检验确定阈值，得到截取集，即块体分类结果。在程序中设置各组合拟 合的参数记录，查取分类后各块体的变形模型参数。 4　算　例 　　某地壳形变的GPS监测网如图6所示，位移矢量中误差为±7 mm。由网的位移矢量图 可见地壳的变形存在分块平移与仿射变形模式，但难以分辨块体的范围，现用前述3所介 绍的方法对该网进行块体识别。 图6　某GPS监测网的位移矢量与单元划分 Fig.6　Displacements and elements division of a GPS monitoring network 　　首先对该网划分出如图6所示由22个三角形组成的单元格网，按照3.2的算法得到如 图7所示的块体分类树。方块内的数字为单元号，方块上方的数字为拟合单位权方差，若 以14.0作为阈值，则变形块体的分类如图8所示。各块体所包含的单元分别为图8中的Ⅰ ～Ⅵ。 　　结合图6、图8可知：变形场中Ⅳ号块体受力最强，也最典型，该块体像一个楔块向 东运动，使Ⅲ号块体产生张裂；Ⅰ、Ⅱ号块体在Ⅳ号块体的推挤和Ⅲ号块体的张裂运动 作用下产生北东运动；Ⅲ号块体的张裂同时使得Ⅵ号块体南移；Ⅴ号块体在Ⅳ号块体的 推挤和Ⅵ号块体的带动下作南向滑动；同时Ⅵ号块的东面存在相对稳定的块体。上述结 论难以用其他方法得到，对后期监测和分析具有重要价值。通过模式识别所得到的块体 分类，对于解释地壳形变的整体变形模式，预测变形体未来的运动方向，起着十分重要 的作用。 图7　分类树 Fig.7　Classification tree 图8　识别结果(取阈值为14.1 mm)。 Fig.8　Recognizing result(Taking 14.1mm as the threshold value). 5　结　论 　　(1) 施加拓扑关系约束进行聚类分析或拟合，可以得到合理的块体分类与运动模式 识别。 　　(2) 只要基本单元划分能唯一地解出模型参数，用拓扑约束拟合法还可以识别其他 运动模式。 　　(3) 通过块体分类可以进行变形预测，为进一步的地球物理解释打下良好的基础。 国家自然科学基金资助项目(编号:49771065)和国家自然科学基金中国-奥地利国际科技 合作资助项目(编号：V.B.11)。 作者简介：蒋征，男，36岁，博士，副教授。主要从事变形的分析与预报研究。 作者单位：武汉测绘科技大学，湖北武汉，430079 参考文献： ［1］　蔡元龙.模式识别［M］.西安：西安电子科技大学出版社，1992. ［2］　雷钦礼，等. 2维有序样本的有约束系统聚类［J］.数理统计与管理，1996，15 (5). ［3］　Welsch W. Some Techniques for Monitoring and Analyzing Deformations a nd Control Nets［M］. Lecture Notes, Mnchen, 1980. ［4］　陶本藻.测量数据统计分析［M］.北京：测绘出版社，1992.

adminftp · 发表于 2005-9-22 17:56

怎么都没有公式啊？

glise · 发表于 2005-9-24 14:00

三角单元划分这里应该有一些公式吧，能不能贴出来我也想用

yinyi · 发表于 2005-12-1 17:09

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