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[其他] 时域与频域的链接者——变换大师:傅里叶

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发表于 2020-12-29 12:42 | 显示全部楼层 |阅读模式

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从前在时域和频域的边界上,有一颗高高的树叫作高数,上面长满了傅里叶。
1.png
在书中,关于傅里叶变换的介绍非常多,其核心公式为:
2.png
那么问题来了,这个公式和我们信号完整性有什么关系呢?

也许很多同学在毕业后就已经将这些知识悉数还给了任课老师,所以我们从信号完整性的角度,尽可能简单的回顾一下傅里叶变换的应用。

在应用傅里叶变换之前,我们需要先了解时域与频域。

时域是描述时间顺序上先后发生的事情。比如,我们仿真得到的波形,看到的眼图,这些都是时域的信号。有时间、电压,以时间为坐标轴,表示动态的信号关系就是时域。
3.png
上图的这个波形比较复杂,我们先看一个最简单的波形,这是一个标准的正弦波:
4.png
在这个波形的基础上,我们还可以画出它三倍频的波形、五倍频的波形、七倍频的波形……
5.png
将所有的波形叠加到一起,该加的地方加,该减的地方减,最终我们就能得到叠加后的波形:
6.png
叠加后的波形相较于基频或是谐波,上升沿变得更加陡峭,这也是我们在分析信号时最常见的波形形式。也就是说我们所看见的波形,并不是一个单一的波形,而是各个频率波形叠加后的效果。叠加的高频谐波越多,波形的上升沿就越陡峭。理论上只要叠加的高频谐波足够多,就能够形成方波(实际上不行,存在吉布斯效应)。

波形的原理已经清楚了,但是我们将一个波形根据频率拆分为无数个波形还是太过于抽象,这种情况就需要傅里叶变换上场了。
7.png
在上面这张图中,红色部分是基波和多个谐波叠加后的波形,是时域的表现形式。右侧将波形的幅度量化,使其表现在不同的频率上,这就是时域。

将上图的时域波形做一些改变,把谐波的分布频率作为X 轴,幅度为Y 轴,我们就可以得到波形的能量分布,如下图:
8.png
这就是频域。

频域虽然没有时域直观,但是频域能够得到很多时域无法明确表达的信息,S 参数就是频域的一种,至于S 参数有多方便,大家也就都知道了。

时域与频域的转换并不需要大家手动去计算,卷积算法(快速傅里叶)几乎每一个仿真软件都在应用,非常方便就可以将时域与频域互相转换。

总结一下,我们所看到的波形都可以分解为无数个不同频率的叠加,高频谐波叠加的越多,边沿越陡峭。反过来,边沿陡峭的信号一定有更多的高频分量,因此我们评估信号的带宽并不是依靠信号的频率,而是根据信号的边沿时间来求解带宽频率。

最后,纪念一下这一切的由来。法兰西的荣光、欧塞尔人的骄傲、远征埃及的指挥官、格伦诺布尔的决策者、科学院院士暨理工科大学校务委员会主席、时域与频域的贯通者、伟大的变换大师:让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵。
9.png
来源:PCB设计与信号完整性仿真微信公众号(ID:Fourteen-SI),作者:十四。

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发表于 2021-8-17 17:07 | 显示全部楼层
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