单轨火车与陀螺稳定性

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几乎所有的轨道交通都是在两条平行轨道上实现的，因为重心在轨道上方的火车车厢必须由两条轨道支承才能稳定不倒。但随着轨道交通技术的发展，仅受单条轨道支承的单轨火车也逐渐成为现实。

最早的单轨火车是将轨道改成索道，让车厢倒挂在轨道下运行。1825年，英国切斯汉特 (Cheshunt) 的帕而墨 (Palmer,H.) 工程师发明了悬挂式马车用来运石料，偶尔也运载乘客。这种马拉的单轨车实际上与缆车或索道车无异，还谈不上是真正的单轨火车。

当马拉动力被蒸汽机代替以后，1876年，在美国的费城才出现真正的单轨火车 (monorail)，成为庆祝美国建国一百周年活动中轰动一时的新鲜玩意。乍一看来，费城的单轨火车外表和悬挂式火车完全不同，车厢不是悬挂而是跨骑在铁轨上。仔细观察还可以发现，火车的乘客座位不在车厢内，而是分布在位于轨道下方的车厢两侧的下伸部分，这里也作为贮存蒸汽机车用煤的仓库。于是整个车厢的重心被控制在铁轨的下方，实际上仍是悬挂式单轨火车的变种（图1）。

图1 重心下移的单轨火车

1898年，德国工程师朗根 (Langen,E.) 在德国鲁尔区的乌帕塔尔市 (Wuppertal)，恩格斯的故乡，设计建造第一条成功运行的 “漂浮列车” (Schwebebahn)。自1901年完工后，历经一个世纪漫长的岁月，古老的悬挂列车至今依旧穿城而过成为市民的出行工具，这在世界工程史中也是不多见的（图2）。

图2 乌帕塔尔的“漂浮列车”

悬挂式单轨火车的稳定性不成问题，因为它就是一只复摆。受到扰动后只能在垂直轴附近作小幅度摇摆。如果将复摆倒立就成了不稳定系统，再小的扰动也能使它倾覆。1852年，法国物理学家傅科 (Foucalt,J.) 创造了世上第一只陀螺仪。高速旋转就能保持直立稳定性的陀螺现象，吸引了物理学家和工程师们的注意。当人们对陀螺动力学的知识有了更多了解时，如何利用陀螺效应使一个重心在上的单轨火车也能稳定住，就成为20世纪初发明家们追逐的目标。这一理想在1903年得到了实现，英国人布伦南 (Brennan,L) 在吉林汉姆 (Gillingham) 创造了第一台用陀螺稳定的单轨火车。1909年11月10日，单轨火车首次在公众前展示时，40名士兵站立在车厢里仍能维持稳定行驶引起观众极大的轰动（图3）。

图3 最早的陀螺稳定单轨火车

要说明单轨火车陀螺稳定的原理，必须先解释陀螺力矩概念。轴对称的陀螺转子快速旋转时，所产生的动量矩与转子的旋转轴，也就是与转子的对称轴保持一致。如果安装陀螺的载体在惯性空间中转动，必须对转子施加力矩才能带动转子一同转动。这个力矩的反作用力矩作用在载体上，称为陀螺力矩，也就是转子因旋转轴改变方向而产生的惯性力矩。陀螺力矩的方向由右手定则确定，将食指指向转子旋转轴，中指指向载体转动轴，拇指的方向即为陀螺力矩的方向。

布伦南的单轨火车在车厢里安装了两只陀螺。陀螺的框架轴垂直，框架内的转子直径3.5英尺，重750公斤，在20马力驱动下以每分钟3000转的转速绕水平轴朝相反方向旋转 (图4)。建立与车箱固结的坐标系 (O-xyz)，Ox 轴和Oy 轴分别为前进方向和侧向的水平轴，Oz 轴为垂直轴。设，二只陀螺的极轴及绕极轴的动量矩L1 和 L2 分别沿Oy 轴的正向和负向，框架轴Oz1 和Oz2 与Oz 轴平行。当车厢绕Ox 轴朝一侧偏转时，重力mg 产生绕Ox 轴的倾覆力矩Mg ，使车厢绕Ox 轴有倾倒趋势，导致陀螺的动量矩L1 和L2 绕框架轴Oz1 和Oz2 朝不同方向进动，进动角速度分别为ω1 和ω2，产生陀螺力矩Mc1=ω1×L1 和Mc2=ω2×L2。因陀螺的转速相反，L1=-L2，进动角速度也相反，ω1=-ω2，所产生的陀螺力矩Mc1 和Mc2 方向相同，与重力倾覆力矩Mg方向相反而互相平衡，车厢可保持原有状态而避免倾倒。当车厢因火车转弯绕垂直的Oz 轴转动时，如框架轴承光滑无摩擦，陀螺的转子因保持定轴性而偏离原来位置。如增加限位装置使转子保持原位，则随车厢一同绕垂直轴转动而产生绕水平轴的陀螺力矩。但两只陀螺的动量矩方向相反，所产生的陀螺力矩也方向相反而自相平衡，不会影响火车的运动。这种单轨火车只需要铺设一条轨道，基本设施的建设时间和成本都大为节省。但是，要耗费大量能源去驱动庞大的陀螺，而且一旦电源出故障中断，陀螺突然停转车厢就立刻倾覆。因此，布伦南设计的单轨火车未能实际用于运输。

图4 双陀螺稳定的单轨火车

尽管利用陀螺稳定性的单轨火车在实际应用上存在不少问题，但并未降低工程师和发明家们的兴趣和创造热情。在布伦南制造单轨火车的同一时期，1904年，德国汉堡的船舶工程师施利克 (Shlick,O.) 发明了利用陀螺效应的船舶消摆器。消摆器由单个陀螺构成，陀螺的框架轴水平安放，转子绕垂直轴旋转，框架下方沿垂直轴利用配重形成一个复摆 (图5)。当船舶在海浪作用下左右摇晃时，所产生的陀螺力矩恰好能有效地抑制船舶的摆动。在52吨扫雷艇上的实航实验表明，消摆器能使原来高达14°的横倾摆幅降低到不超过1° 而大获成功。施利克船舶消摆器的成功使人产生联想，将这种陀螺安装在单轨火车上，应该也能起稳定作用吧。出人意料的是实验结果并不成功，因为遇到了与运动稳定性有关的理论性问题。

图5 施利克船舶消摆器

运动稳定性理论，是判断机械系统平衡状态是否稳定的理论。对于受扰后的线性化扰动方程，利用指数函数特解导出特征方程，根据特征方程根的性质判断稳定性方法最简单易行。特征根的实数部分为负值时，平衡状态为渐近稳定；为正值时，平衡状态不稳定。纯虚数特征根对应的受扰运动为有界的周期运动，可认为平衡状态稳定。虽然后者仅限于线性化系统，但作为工程实用的稳定性判断方法仍被普遍采用。应用上述方法进行分析，原来静平衡稳定的机械系统只能依靠静平衡稳定的陀螺抑制摆动。而原来静平衡不稳定的机械系统，只能依靠静平衡不稳定的陀螺使不稳定转为稳定。漂浮的船舶和单轨车厢之间的差异恰好在于：船舶的重心低于浮心，是静平衡稳定的机械系统，而车厢的重心高于轨道，是静平衡不稳定的机械系统。因此，要将施利克消摆器应用于单轨火车，陀螺框架上的配重必须从支点的下方移到上方，形成不稳定的倒摆，这种单陀螺稳定方案才得以实现 (图6)。有关的理论证明在下文中给出。

图6 单陀螺稳定的单轨火车

单轨火车有降低基建成本、节约空间等优点，适合人口密集的城市。现代化的单轨火车采用了更先进的技术方案。以1952年德国的阿尔威克 (Alweg) 高架单轨火车技术为代表，车厢为跨越式，两侧也向下伸展，但摒弃了重心下移的笨办法，而是利用增添的侧向轮使车厢稳定。狭窄的铁轨已演化为粗壮的混凝土梁，铁轮被橡皮轮代替 (图7)。这种新型的单轨火车以节约空间、简化设施、快速、低噪声等方面的独特优势，已发展成为实用的交通运输工具遍及世界各地。如果将主轮和侧向轮改为磁悬浮，则发展为磁悬浮列车。2002年开通的上海的磁悬浮列车速度高达每小时400公里以上，是最早商业运营的磁悬浮交通线 (图8) 。我国自主研制的中低速磁浮列车也方兴未艾。2017年北京地铁S1号线就采用了磁悬浮技术。在重庆、成都、长沙、开封等多个城市，各种类型的悬挂式单轨火车纷纷出现，成为这些城市的新景观。

图7 侧向轮稳定的单轨火车

图8 上海的磁悬浮列车

参考文献：
[1] 刘延柱. 高等动力学（第2版）. 北京：高等教育出版社， 2016

（原文注：本文改写自刘延柱. 单轨火车趣谈. 力学与实践，2009，31(4)：98-100）

附：施利克消摆器的稳定性分析
以船体的浮心O 为原点，设陀螺的支承中心与O 点重合，建立惯性坐标系 (O-XYZ)，船体坐标系 (O-x0y0z0)，和陀螺框架坐标系 (O-xyz)。其中，Z 为垂直轴，与水平轴Y 组成船体横摇平面。x0 和y0 分别为船体的纵轴和横轴，y0 也是框架转轴。z 轴为转子极轴（图9）。设船体的横摇角为ψ，陀螺框架的摆动角为 （图10）。转动次序为

图9 施利克消摆器

图10 参考坐标系

设船体连同消摆器的质量为m1，相对x0 轴的惯量距为J1，陀螺框架连同转子的质量为m2，相对y0 轴的惯量距为J2。转子的极惯量距为J，以角速度ω0 匀速转动，动量距为常值L0=Jω0。仅保留ψ，的一次项，以 (O-xyz) 为参考坐标系，设i、j、k 为各坐标轴的基矢量，船体与消摆器系统的动量矩为

其角速度为

设船体重心O1 与浮心O 的距离为l1，支架的重心O2 与O 点的距离为l2，船体与消摆器系统对浮心O 作用的力矩为

将以上各式代入动量矩定理：

波浪号表示相对 (O-xyz) 的局部导数，投影到x、y轴，得到动力学方程

利用指数函数特解导出特征方程

其中

解出

以下条件满足时，λ2 为负实数，特征根λ 为纯虚数：

此条件为系统平衡稳定的充分必要条件。将船体改称为载体，以下3种情况：

  · 载体和消摆器均为下摆性，l1>0，l2>0。则a>0，b>0，且a2-4b>0自行满足，平衡稳定。此即施利克消摆器的工作原理。

  · 载体和消摆器的摆性相反，l1<0，l2>0或l1>0，l2<0：则b<0，系统不稳定。施利克消摆器用于单轨火车失败。

  · 载体和消摆器均为上摆性，l1<0，l2<0。则b>0，如提高转速满足L02>(m1|l1|+m2|l2|)g 条件，则可使a>0，a2-4b>0均得到满足，平衡稳定。此即陀螺稳定单轨的工作原理。

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。