阻尼模态理论中的知识要点介绍（上）

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一 阻尼模型

1. 阻尼的概念

结构系统动力学分析中，特别是动响应分析，阻尼的作用是不可忽略的，由于阻尼的存在，结构系统的模态特性呈现出复杂性。本文将讨论阻尼结构系统的阻尼模态特性（阻尼模态理论）。

结构系统在其振动过程中，阻尼的产生有多种原因，来自多个方面，有介质阻尼、材料阻尼、摩擦阻尼以及结构阻尼等。不同类型的阻尼是由不同的机理生成，难以用一个简单的统一的规律作综合的描述。而且它们的阻尼机理也都比较复杂，作用在不同的结构系统有不相同的定量规律。这样，阻尼的分析不可能像刚度与惯性那样通过分析来建立它的特性矩阵，目前只能对具体结构系统作试验实测，给出它的定量结果。

阻尼从运动角度看，它起阻碍运动的作用，其阻尼力的方向是与运动方向相反。阻尼力大小的具体规律受多种因素影响，往往需对具体问题作具体分析，且只能突出主要因素通过实验加以测定。阻尼从能量角度看，它消耗结构系统的能量，其量值可用它在振动一周内所耗散的能量来度量。由于阻尼机理的复杂性，缺乏统一的规律性，在工程上只能采用简单模型用能量等价的方法作简化处理。下面，首先对几种典型阻尼的机理分别作个简要介绍。

2. 粘性阻尼模型

结构系统最简单的一种阻尼模型是粘性阻尼模型，由于它是一种线性阻尼模型，被广泛应用于结构动力学分析。粘性阻尼的机理是基于在粘性流中流动的物体所受到的一种阻力，它的大小与运动速度成正比，运动速度越大则所受的阻力也越大，它的方向是与速度反向，对于一个质点来说，它粘性阻尼力的数学表达式可写为：

其中，v 是质点的速度，c 是介质的粘性阻尼系数。由于粘性阻尼的存在，在运动过程中要耗散能量，它在单位时间内耗散的功率如下：

若结构系统是个连续系统，在粘性流介质中运动时产生有分布阻尼力。它也用粘性阻尼力的数学表达式表示，所不同的是，它是位置坐标xi 的场变量。它所耗散的功率：

D 称之为耗散函数，当结构系统进行离散化后，离散化结构系统的阻尼力列阵是：

它的耗散函数是：

其中，[C ] 称为粘性阻尼矩阵。有限元法主要采用的是这种线性阻尼模型，在以后的分析中若不作特殊说明时，所涉及的阻尼都采用这种粘性阻尼模型。

3. 材料阻尼模型

结构系统的另一种重要阻尼是由材料内阻产生的。结构系统发生不断的往复运动时，材料内部阻尼将消耗其机械能，这种材料内阻与材料性能有关，取决于材料的本构关系。材料的弹性性能由虎克定律用下式表示：

材料阻尼所产生的阻尼应力σe 认为是与应变率成正比，设其比例系数是g，且阻尼应力的方向与应变率反向，即：

则这种阻尼材料的本构关系是：

这种简单的材料阻尼模型，称之为Voigt 模型。设结构系统以频率ω 作简谐振动，其应变分量也按简谐规律变化，即：

则它的总应力是：

其中，复模量

是Voigt 型阻尼材料的复模量。

材料阻尼有多种阻尼模型，它的一种描述形式是用其复模量。它的实部是其弹性性能，它的虚部是其阻尼性能。一种最简形式是：

但这种形式实用上有非常大的局限性，只适用于单自由度系统作简谐振动的情况。

目前比较广泛使用的材料阻尼模型是粘弹性阻尼模型，它是建立在材料的粘弹性本构关系基础之上的。这种粘弹性材料性能是与其变形历史有关，且具有渐忘记忆特性。它的本构关系在拉氏域内的描述有与虎克定律相似的形式，即

其中，E(s ) 是拉氏域内的复模量，它的一种标准导数模型可用拉氏变量的有理分式给出，即

这种粘弹性阻尼模型的引入是对材料阻尼的一种较好的描述，它给出了阻尼的频变性能。

4. 摩擦阻尼模型

结构系统是由构件组合而成。各构件之间存在着间隙和摩擦，它们构成摩擦阻尼，在结构系统发生振动时它要消耗能量。它的一种最简单的阻尼模型是库伦摩擦阻尼模型，库伦摩擦力为：

其中，N 是正压力，μ 是摩擦系数，dur/dt 是摩擦副之间的相对速度。这是一种常见的阻尼模型，但它是一种非线性阻尼模型，在分析计算中有众多困难，这里将不作进一步的分析。

为在实际分析中能考虑各类阻尼的耗能作用，可以用当时粘性阻尼来替代。以库伦摩擦阻尼为例，当结构系统作简谐振动时，在一个周期内库伦摩擦力所消耗的功约等于4μNxm，其中，xm 是其振幅。而当量粘性阻尼力的功是πcfωxm2 。于是，它的当量粘性阻尼系数应是：

这样，可以近似地将它与粘阻尼系数合并来考虑摩擦阻尼的作用。

二、阻尼结构系统的动力学基本方程

1. 阻尼结构系统的能量分析

粘性阻尼结构系统（以后简称为阻尼结构系统）经离散化为有限元模型，它的应变能、动能和外力功分别是：

对于阻尼结构系统，除了上述的三部分能量之外，还有粘性阻尼所消耗的能量，它是用耗散函数公式表示为：

粘性阻尼力{fd } 所消耗的功等于：

于是，阻尼结构系统的哈密尔登作用量原理可表示为

根据阻尼结构系统的哈密尔登作用量原理（上式），从它的驻值条件推出它的拉格朗日 (Lagrange) 方程是：

若阻尼结构系统没有受到外加激励的作用 (f=0)，则外力功为零，无外界能量输入，这时将上式前乘{x }ᵀ，可以推得：

它说明阻尼结构系统的机械能在无外界能量输入情况下不断地被消耗，它随时间的消耗率等于耗散函数（粘性阻尼所消耗的功率）的二倍。

2. 离散化阻尼结构系统数学模型

将各能量公式代入拉格朗日方程，得离散化阻尼结构系统在位移空间内的动力学基本方程：

它是阻尼结构系统在物理位移空间和时间域内的数学模型，是一种主要形式的数学模型，但在理论分析时，采用更一般形式的状态方程将更便于进行分析。下面介绍有关系统、状态与状态方程的概念。

(1) 系统的概念

系统是一种更为广泛的概念，反映着某种物理现象，甚至社会现象，表现出输入与输出之间的变换关系。就结构系统而言，反映的是一种力学现象，当对结构系统施加某种作用，如施加激励力{f(t )}，这就是输入，结构系统就要产生振动，有振动位移{x(t )}（或振动应力{σ(t )}）的出现，这是输出，它们构成为一个结构动力学系统。

(2) 状态向量

对系统的完整描述是它的状态向量。所谓状态向量，是描述系统状态的一组变量{y(t )}，根据状态向量的初始值{y(0)} 和以后的输入{f(t )} 将唯一地确定变量的整个变化历程。对于结构动力学系统，它的状态向量是由位移向量{x(t )}和速度向量{x(t )}所组成。因为在已知输入的激励情况下，根据初始位移{x(0)} 与初始速度{x(0)} 可以确定它的整个运动的时间历程{y(t )}。

(3) 状态方程

由状态变量{y(t )} 描述的系统基本方程称为状态方程，状态方程一般地是状态变量的微分方程。它给出了系统的输入与输出的转换关系。以最简单的机械系统为例来说明这个概念。质点动力学的基本方程是牛顿第二定律，即：

它的输入是作用力f(t )，它的定解条件是位移与速度的初始值x(0) 与dx(0)/dt，由此可见，它的状态向量是位移x(t ) 与速度dx(t )/dt，即：

进而得到状态方程：

这类质点动力学问题的输出变量是位移x(t )，则还需有输出方程：

把上面的分析推广到一般情况，一个系统的控制方程应包括两部分：状态方程和输出方程。它的状态方程具有如下一般形式：

和输出方程为：

其中，{y }是状态向量，[A ] 和[B ]是状态矩阵，[E ]是输入矩阵，[D ]是输出矩阵。

阻尼结构系统（离散的有限元模型）的动力学基本方程，是以其节点位移向量{x(t )} 为基本未知量，但它不是状态向量。根据基本方程的形式及其定解条件，它的状态向量应定义为：

为建立状态方程，把阻尼结构系统（离散的有限元模型）的动力学基本方程改写为：

再引入增广的恒等式：

综合上列两个方程，得阻尼结构系统的状态方程为：

状态方程是一种广义形式，它的标准形式应是：

阻尼结构系统标准形式状态方程的状态矩阵和输入矩阵分别是：

这两种形式的状态方程具有各自的特点，将分别采用两种形式的状态来分析阻尼结构系统的振动特性。

三、比例阻尼结构系统的振动特性

1. 比例阻尼结构系统的定义

阻尼结构系统的阻尼，由于生成阻尼的因素多样、机理复杂，难以精细地加以考虑。在工程上往往作近似外理，用能量等效的观点折算为当时的粘性阻尼。

在结构动力学分析中采用的阻尼模型是粘性阻尼模型，它是各种形式的阻尼都折算为当量粘性阻尼。因此，粘性阻尼矩阵[C ] 的形成就不能像刚度矩阵与质量矩阵那样可从其机理分析来确定，给出其定量的规律性。所采用的粘性阻尼模型带有很大的人为假设，是用当量的观点提出的，并非它的实际阻尼情况。这种当量粘性阻尼往往只是给整个结构系统从宏观角度确定其在一个振动周期内消耗能量的总效果，它并不能在有限元级（构形域）和瞬时级（时间域）上作出分析。

结构动力学分析中的粘性阻尼模型又可分为比例粘性阻尼（广义比例粘性阻尼）与一般粘性阻尼两类。比例粘性阻尼模型，又称为瑞利阻尼，认为其阻尼矩阵[C ] 是分别与刚度矩阵[K ] 和质量矩阵[M ] 成正比，即

其中，α、β 是比例系数。这是一种简单的粘性阻尼模型，它具有简单而又明确的物理意义。另一种（广义）比例阻尼模型，又称为柯希阻尼，它的阻尼矩阵定义为级数形式如下：

其中，ak 是系数。若这级数形式的阻尼模型只取其首两项 (p=2)，则退化为瑞利阻尼。这种级数形式的柯希阻尼是更详细地描绘阻尼与刚度、质量之间的函数关系。这类阻尼模型把阻尼矩阵参数化，用它的系数来定量地给出，而这些系数则是从实际结构系统的实测数据的统计结果中拟合出它的当量值。它可从两方面来获取，一是实测结果，一是统计结果，根据情况加以选取。

2. 阻尼结构系统的特征方程

无外激励作用{f(t )}=0 时，阻尼结构系统动力学基本方程成为自由振动控制方程

这是一个二阶齐次常系数微分矩阵方程。现应用这个数学模型来分析阻尼结构系统的振动特性。上式的通解形式可设为

将上式代入自由振动控制方程，由于自由振动控制方程是主次方程，形成为一个二次特征值问题

由此，可解出它的特征对：特征值λci 和特征向量 ((ϕci )。其特征值λci   可由下列的特征行列式解出

这是个二次特征值问题，它的特征值可能是复数（包括虚数）根或实数根。它的展开式是λi   的2n 次多项式，有2n 个根，分别为λci，(i=1,2,…,2n)。回代到二次特征值问题方程式，可解出与特征值λci相对应的特征向量{ϕci }，由下列方程给出

这是阻尼结构系统特征解的一般分析，但难以给出具体的结论和明显的物理意义，需作进一步的分析。

3. 比例阻尼结构系统的特征解

比例阻尼结构系统的振动特性有比较简单明了的结果。将

所定义的瑞利阻尼模型代入阻尼结构系统动力学方程，得其动力学方程是

将

代入动力学方程形成下列特征值问题

或

这个特征方程与无阻尼情况的特性方程相似。引入符号ωc2为

它与无阻尼结构系统的特征方程完全相同，可以得出相同的特征解，它们是：

(1) 特征向量

瑞利阻尼结构系统的特征向量（阻尼振型）(ϕci ) 与无阻尼结构系统的特征向量（固有振型）(ϕi)完全相等，即

这是瑞利阻尼结构系统的一个重要性质，比例阻尼结构系统的特征向量就是固有模态向量，它们生成相同的模态空间（固有模态空间）。

(2) 特征值

从下式

得出，由{λci} 分式定义的ωci2 应等于固有频率平方 ，即

由此得出它的特征值方程

解得第i 阶复共轭成对的特征值为

其中，ξi  称为阻尼比，对于瑞利阻尼情况，它是

一般情况下，阻尼比小于1。

至此，求出了瑞利阻尼结构系统的特征解：由上两式给出的复特征值λci 和式

给出其特征向量为固有模态向量 (ϕi ) 。当得出了瑞利阻尼结构系统的特征解，就可分析它的振动特性。由于瑞利结构系统的特征向量（阻尼模态向量）即是固有模态向量，它的振动特性可在固有模态空间内进行分析。现选取由质量矩阵规一的正则固有模态向量所张成的固有模态空间，它有如下的正交化特性

其中

瑞利阻尼结构系统还存在有对阻尼矩阵[C ] 的正交化特性，因

这是瑞利阻尼结构系统的又一个重要性质，它的阻尼矩阵连同刚度矩阵与质量矩阵一起在变换到固有模态空间时都被对角化，都具有正交性质。在固有模态空间里，比例阻尼结构系统是刚度解耦，惯性解耦，阻尼解耦。

将所求得的特征解代入它的解

得其第i 阶模态解

其中，Ai，θi   是积分常数，将由初始条件确定。它的振动形态（阻尼模态）是与其相对应的固有振型{ϕi } 相一致，但它不再是一种稳态驻波形式，其振动规律是在不断地衰减着的，阻尼比ξi 给定了它的衰减率。它的特征值虚部给出阻尼频率

这种阻尼频率并不是给出周期性，因它的振动规律不具有周期性，它给出的是等时性，即每个峰值之间的时间间隔是相等的。复特征值λi 又称为复频率，它的虚部给出等时性，它的实部给出衰减率。

柯希阻尼模型（广义比例阻尼模型）在固有模态空间内具有阻尼矩阵解耦的特性，即下式成立

将柯希阻尼矩阵方程代入上式，它是满足上面的正交解耦条件公式的，这时

于是，这类广义比例阻尼结构系统振动特性也可在固有模态向量张成的固有模态空间[Φ ] 内进行分析。为此，对于阻尼矩阵在固有模态空间内具有解耦性的（广义）比例阻尼结构系统可作如下的坐标变换，将它变换到固有模态空间。

代入动力学方程

并前乘[φ]ᵀ，得

利用固有模态向量对[M ]、[K ] 和[C ] 的正交解耦性所给出的关系式

其中

从而得出它的特征值方程

由上式解出它的复频率λi，即是第i 阶复共轭成对的特征值方程式。同时，从方程

也不难看出，广义比例阻尼结构系统的特征向量就是固有模态向量。

综上所述，比例阻尼结构系统的主要特征是它的阻尼矩阵在固有模态空间内具有正交解耦性，其模态参数（特征解）是：实振型（固有振型{ϕi }和复频率，其虚部是阻尼频率ωdi，其实部是阻尼比ξi   与固有频率ωi 乘积的负数）。它的特征向量是固有模态向量，是个实向量，故比例阻尼结构系统的模态特征称之为实模态理论。但它不同于固有模态理论，它的特征值则是共轭复数。这类比例阻尼模型在小阻尼情况下都能近似成立，而被广泛地应用于计算与试验之中。在分析计算时可先在无阻尼情况下求解广义特征值问题，得出其模态向量。然后考虑阻尼的影响，计算其复频率。在模态试验中也常采用这实模态理论作数据处理的。

来源：整理自百度文库《阻尼模态理论》