从力学基础角度谈：桥的重力刚度的本质

weixin

1、悬索桥的重力刚度
在悬索桥理论中，经常看到一个叫作“重力刚度”的词，其一般的定义是：柔性的主缆因承受（恒载）重力而产生的抵抗（活载）变形的刚度（图1、图2）。由此定义，可以得到以下几个概念：

  · 重力刚度来自恒载的重力；

  · 恒载重力越大，刚度就越大；

  · 重力刚度是指抵抗活载变形的能力，而不是指抵抗恒载变形的能力。因为对于桥梁结构而言，恒载变形能够在建造过程中通过设置预拱度来消除。

很明显，上述的定义和概念都是从工程的视角得出的，它们在工程实际应用领域内是正确的。但如果再向深层次追究，从基本的力学视角来看此问题，又该如何呢？具体点就是：柔性水平索的竖向刚度最本质的来源是什么？是重力吗？这里只分析水平悬挂的索（两个支点在同一水平面内），对于斜索（两个支点不在同一水平面内），原理一样的。

图1 悬索桥（图片引自互联网）

图2 悬索的竖向刚度

2、无重水平索的竖向刚度
为了简单易懂且不失一般性，以一根无重量的柔性（无抗弯刚度）水平索为例进行分析。如图3所示，索的两端支点A和B为铰接，A与B之间的距离为L，索的无应力长度为S=AC+CB，且S>L。

在没有任何外力（亦无自重）情况下，索是松弛的，轴力为零，其构形可以在约束及长度允许范围内呈任意形状。因要研究中点C的竖向刚度，所以，设索的初始构形为图3黑线所示的折线形状。此时AC 或CB 与水平线夹角为t0。

当在C处作用一个竖向力P 时，索的构形因下挠而成为新的折线状态（图3的蓝线），索的斜线与水平线夹角变为t0+t，索的轴拉力变为T。根据C点竖向平衡条件（图3）容易知道：

这是以索变形后的构形为参考构形所建立的平衡方程，是几何非线性方程（因为T 也是t 的函数）。

图3 无重水平索受力简图

如果在此基础上，在C点又增加一个与P 同向的作用力Q，则索产生新的角度增量r 和拉力增量R，构形将因新的变形而发生变化（图3的红线），在新的位置处于新的平衡状态。此时有：

所以

上式是作用力增量Q 与变形增量t 及r 之间的非线性关系式，其右端第二项是拉力增量R 的贡献，而第一项则是原有拉力T（或P）的贡献。以P 作用之后且Q 作用之前的状态为初始状态，则由于角度增量r 与挠度增量C”C’ 直接相关，因此上式也可以理解为“在初始状态基础上产生变形r 所需要的竖向力Q 的大小”。

从上式可以看出，如果不考虑变形增量t 和r 对构形的影响，即按线形理论计算，则上式右端第一项变为零，第二项变为2Rsint0。很明显，对于产生变形r 所需要的力Q，考虑几何非线性效应时比不考虑时要大，即前者情况下的刚度比后者大。并且原有的外力P 或拉力T 越大，上式右端第一项所增加的量就越大。因存在初始几何构形 (t0) 以及几何非线性效应 (t+r)，使得原有作用力P（或拉力T）产生了对刚度的贡献。其中初始几何构形引起的就是线性理论得到的刚度贡献，变形t+r 引起的就是几何非线性效应的刚度贡献。

要严格推导刚度表达式，就要求dP/dt 表达式。为简单，设t0=0，并注意T 也是t 的函数，可容易推导得到C点处的刚度K 为：

其中，E 和A 分别为索的弹性模量和横截面积。

从上式可以看出，t0=0 时，索的竖向刚度完全来自变形t 对构形的影响，即几何非线性效应。如果没有或者不考虑变形t 对构形的影响，则K=0，即没有刚度。

由上可总结出水平索的两个规律：

  · 几何非线性效应使竖向刚度加大；

  · 初始竖向力P 使竖向刚度加大，并且P 相对于Q 越大，Q 所引起的变形r 相对于原有的变形t0+t 就越小。

上面定性地说明了水平索的竖向刚度与初始作用力P 以及几何非线性的关系，严格的理论推导也可以证明上述结论的正确性，此处不赘述。另外，上面只是分析了在中点作用一个竖向力的情况，对于多个集中力或者分布力作用情况，其基本机理是一样的，上面的结论同样有效。

3、重力刚度本质是几何效应
说到重力，或万有引力，不禁想起它的物理学意义。在万有引力定律中，牛顿认为万有引力是有质量的物体本身所固有的特性。但在广义相对论中，爱因斯坦认为万有引力是时空弯曲产生的几何效应。这里谈这个物理学的概念并不是因为本文问题跟这个直接相关，而是在说法上有点相似，即都与几何效应有关。

从上节的分析可以看出，如果原有作用力P 是重力，那么由它所引起的刚度增加就是所谓的重力刚度。可见重力刚度问题只是前述一般问题的一个特例。另外，在上节所总结的两个规律中，刚度的增加都是几何非线性所引起的，因此从力学角度来看，水平索刚度的增加在本质上是几何效应，重力刚度本质上也是几何效应，或者说是“几何刚度”。没有几何非线性效应或者其不明显，即使有重力也不会有明显的刚度增加。相反，如果几何非线性效应明显，不通过重力也能获得较大的刚度增加。例如，图4所示把上下两根索（红色与蓝色）紧绷且中间用连接索（黑色）相连，就会大幅度提高竖向刚度。

图4 两根索相连形成竖向刚度

再次强调，如文章开头所述，本文是从力学基础的视角来看待重力刚度，寻求它的产生根源，而不是从工程的视角来看待的。目的是让读者除了了解其工程意义之外，也了解其力学本质。

4、从几何非线性理论角度理解
为了阅读方便，把前文的公式在这里重复给出：

为了分析结构刚度，可将Q 看作竖向外力P 的增量ΔP，r 则为对应的角位移增量Δt（也是反映竖向变形的变量），R 为对应的内力增量ΔT。为简便，设：g1=sin(t0+t)，g2=sin(t0+t+Δt)，g12=g2-g1。g1 和g2是反映索在不同受力状态下几何构形的函数，因此g12 反映的是由于ΔP 的作用使索几何构形发生的变化量的函数，且当不考虑几何非线性影响时，该值为零。注意到g2=g12+g1，则上式可改写为如下增量形式：

把方程两边同除以角位移增量Δt，便得到割线刚度，表达式如下：

大家知道，增量形式的割线刚度是指力-位移关系曲线上两个点之间连线的斜率，因此上式是索从承受外力P 状态变化到承受外力P+ΔP 状态这个增量区间的割线刚度（见图5）。上式右端第一项是几何构形改变与原有内力T（P 的作用效应）相互作用产生的竖向刚度，也就是几何非线性理论中的几何刚度；上式右端第二项是几何构形改变与新增内力ΔT 相互作用产生的竖向刚度，即几何非线性理论中的大位移刚度；而上式右端第三项则是原有几何构形与新增内力ΔT 相互作用产生的竖向刚度，即线性刚度。

图5 割线刚度

从图3可以看出，索的初始构形为一折线形（图中黑线），相当于由两根杆件组成的桁架，因此具有初始的线性刚度。而如果t0=0，则表示索的初始构形为一连接A和B的水平直线（图6黑线所示）。

上式是t0=0 情况索的切线刚度表达式。从概念上和式中都可以看出，当无外力P 时，竖向切线刚度为零。而只要有横向外力P，就会引起角度t，使原来的水平索变成一个桁架，因而考虑非线性效应时就有了竖向刚度。

图6 初始构形为水平直线的索

t0 不等于0情况的切线刚度为如下形式：

由于上式中考虑了初始的角度t0，因此该式所表示的切线刚度包括初始构形（图3中的桁架ACB）的线性刚度。

以上分析为了简单，将外力Q 与P 都作用在同一个点C处。若二者不在同一点，例如Q 作用在AC之间，则也有类似的特性，只不过此时Q 方向的刚度表达式更复杂一些，并且几何构形的变化也不能简单地用t 和r 表示，外力-位移曲线也与图5有所差别。

5、一般桥梁结构的重力刚度
从上面的分析可以看出，重力刚度只是悬索结构几何刚度的一种，是由恒载重力产生的几何刚度。假如，把凡是恒载重力产生的几何刚度都叫作重力刚度，那么除了悬索桥结构以外，其他桥型结构有没有重力刚度？

答案是肯定的。在考虑几何非线性效应时，其他桥型结构因存在几何刚度和恒载重力，因此当然也存在重力刚度。但从几何刚度的表达式可以看出，几何刚度的数值大小及正负（并不一定都是正值）取决于基准状态的内力和几何构形的改变量。在悬索桥以外的其他桥型结构中，由于主要承重结构不是柔性的悬索，重力刚度远比悬索桥结构小，而且很多时候还是负的，即重力刚度起负作用。典型的例子是受压的桥墩柱子，上部结构及自身的重力越大，因非线性侧弯变形引起的附加弯矩就越大，竖向刚度就越小（类似压杆稳定问题）。

对于斜拉桥结构，虽然作为主要承重结构的斜拉索也是柔性索，但从前面的分析可知，重力刚度是指索的两个支点之间的各点抵抗竖向变形的能力，索本身的重量和加劲梁的重量也是作用在支点之间的，而斜拉索利用的是两支点连线方向的刚度，索的自重使这个连线刚度降低，梁的自重作用在索端部，因此在斜拉桥中不能利用重力刚度来抵抗活载变形。

作者简介：
李乔，西南交通大学教授，博士生导师，茅以升桥梁研究所所长，在中国公路学会桥梁分会等学术组织任常务理事或理事，在土木工程学报等重要学术期刊任编委会委员。

来源：西南交大桥梁微信公众号（ID：xnjdqlx），作者：李乔。